《专题06 证明类问题-备战2022年高考数学压轴题之解析几何真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06 证明类问题-备战2022年高考数学压轴题之解析几何真题模拟题分类汇编（全国通用）（解析版）（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题06 证明类问题1（2021新高考）已知椭圆的方程为，右焦点为，且离心率为（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切证明：，三点共线的充要条件是【答案】（1）（2）见解析【详解】（）解：由题意可得，椭圆的离心率，又，所以，则，故椭圆的标准方程为；（）证明：先证明必要性，若，三点共线时，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，解得，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；下面证明充分性，当时，设直线的方程为，此时圆心到直线的距离，则，联立方程组，可得，则，因为，所以，因为直线与曲线相切，所以，则，则直线的方程为恒过焦点，故，三点共线，所以充分性得证综上所述，三点共线的充要条件
2、是2（2021上海）已知，是其左、右交焦点，直线过点，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上（1）若是上顶点，求的值；（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条【答案】（1）（2）（3）见解析【详解】解：（1）因为的方程：，所以，所以，所以，若为的上顶点，则，所以，又，所以；（2）设点，则，因为在线段上，横坐标小于0，解得，故，设直线的方程为，由原点到直线的距离为，则，化简可得，解得或，故直线的方程为或（舍去，无法满足，所以直线的方程为；（3）联立方程组，可得，设，则，因为，所以，又，故化简为，又，两边同时平方可得，整理可得，当时，因为点，在轴
3、上方，所以有且仅有一个解，故对于任意，使得的直线有且仅有一条3（2021贵州模拟）已知定点，曲线上的任一点都有（1）求曲线的方程；（2）点，动直线恒过定点，与曲线交于，设直线，的斜率分别为，证明：成等差数列【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（1）设，则，由得，化简得；（2）证明：设直线的方程为，由得，且，又，成等差数列4（2021开封三模）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且满足（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线交于，两点，且，线段的中点在直线上（）求直线的方程；（）证明：，成等差数列，并求该数列的公差【答案】（1）（2）见解析【详解】（1）解：由题可知，设点，因为，即，所以，
4、故，将点代入，得，又因为，所以，所以抛物线的方程为；（2）解：若直线斜率不存在，则直线，此时，故直线斜率存在，设直线，联立方程组，消去得，满足，即，设点，则，所以，又因为线段的中点在直线上，所以，由式与式联立可得，当时，满足；当时，满足，所以直线的方程为或；证明：由可知，直线与抛物线联立方程，消去可得，所以，故，则，所以，成等差数列，又因为公差满足，因为，所以，故数列的公差5（2021榆林四模）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线（与椭圆在处的切线垂直的
5、直线）与轴交于点，已知，（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于，两点（均不与，重合），直线与直线交于点，证明：，三点共线【答案】（1）（2）见解析【详解】（1）解：由椭圆的定义知，则，由光学性质可知是的角平分线，所以因为，所以，得，从而，故椭圆的方程为（2）证明：设直线的方程为，联立方程组得，则，因为直线的方程为，所以令，得，因为，又所以因为，所以，三点共线6（2021石嘴山模拟）过抛物线的焦点作不平行于轴的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线相交于点，直线交抛物线于，两点（）求的值；（）证明：【答案】（1）（2）见解析【详解】（）解：设直线，联立，可得，则，抛物线方程为，求导得
6、则过抛物线上、两点的切线方程分别是，即，联立解得，又焦点，从而，所以（）证明：设直线为，则，设，所以，故要证明，即证，即证，即证，联立方程得，所以，所以，故7（2021辽宁三模）如图，椭圆；，为常数），动圆点，分别为的左、右顶点，与相交于，四点（1）求直线与直线的交点的轨迹方程；（2）设动圆与相交于，四点，四点分别与，四点所在象限相同），其中，若矩形与矩形的面积相等，证明：（其中为椭圆的离心率）【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（1）由题意可知，则直线的方程为：，直线的方程为：，两式相乘得：，在椭圆上，化简得，由已知条件得点的轨迹方程是得（2）证明：设，矩形与矩形的面积相等，设，都在椭圆上
7、，两式相减得：，即，8（2021青岛二模）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，为直线与椭圆的一个交点，且，（1）证明：直线与椭圆相切；（2）已知直线与椭圆交于，两点，且点为的中点（）证明：椭圆的离心率为定值；（）记的面积为，若，证明：【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】解：（1）证明：由于直线与椭圆相交，把，代入直线的方程可得：，再把，代入椭圆方程可得，将直线的方程代入椭圆的方程可得：，所以，所以直线与椭圆相切（2）（）证明：由直线方程代入椭圆方程有：，设，所以，所以，由于是的中点，所以，所以，所以，所以（）证明：设原点到直线的距离为，则，因为，所以，所以，所以，由（1）可得，所以，又
8、因为，所以，即，所以，令，则，令，所以，所以在，上单调递减，所以当，时，所以，在，上单调递减，所以，所以，所以9（2021德阳模拟）已知直线与椭圆相切于点，直线的斜率为，设直线与椭圆分别交于点、（异于点，与直线交于点（1）求直线的方程；（2）证明：、成等比数列【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（1）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，只有一组实数解，即只有一个实数根，得，解得，所以直线的方程为（2）证明：设直线的方程为，则且，则，由，得，所以，所以，所以，所以，成等比数列10（2021湖南模拟）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另
9、一个焦点已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线（与椭圆在处的切线垂直的直线）与轴交于点，已知，（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于，两点（均不与，重合），直线与直线交于点，证明：，三点共线【答案】（1）（2）见解析【详解】（1）解：由椭圆的定义知，则，由光学性质可知是的角平分线，所以，因为，所以，解得，从而，故椭圆的方程为（2）证明：设直线的方程为，联立方程组，得，则，因为直线的方程为，所以令，得，因为，又，所以，因为，所以，三点共线11（2021和平区二模）已知椭圆的右焦点为，点与点是椭圆的顶点，（）求椭圆的离心率；（）设以离心率为斜率的直线
10、经过点，与椭圆相交于点（点不在坐标轴上）（）证明：点在以线段为直径的圆上；（），求椭圆的方程【答案】（1）（2）【详解】解：（）由题意可得，所以，因为，所以，解得，所以离心率为（）由（）可知，所以，椭圆的方程为，因为以离心率为斜率的直线经过点，所以直线的方程为，联立直线与椭圆的方程得，所以，即，解得，所以，所以，（）所以，所以（），因为，所以，解得，所以，所以12（2021湛江三模）设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为（1）求抛物线的方程；（2）在线段上取点，满足，证明：点总在定直线上【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】解：（1）由题意可得，则，解得，故
11、抛物线的方程为；证明：（2）设，直线的方程为，由，消可得，由，得，故，化简可得，又，故，化简可得，即，则或，当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符，故点在定直线上13（2021郑州二模）如图，已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于点，直线与抛物线的另一个交点为（）证明：直线轴；（）设准线与轴的交点为，连接，且证明：【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】解：（）证明：由抛物线的性质可得焦点，准线方程为，设，所以直线的方程为：，由题意可得，设直线的方程为：，联立，整理可得，所以，可得，所以，所以轴；（）证明：因为准线方程为，由题意可得，因为，所以，即，
12、解得，由（）可得，所以，所以可证：14（2021苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交抛物线于点（异于原点，抛物线上点处的切线交轴于点，设线段的中点为，连结线段交于点（1）求的值；（2）过点作圆的切线交于另一点，设直线的斜率为，证明：为定值【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（1）设，则在点处的切线方程为，联立方程组，消去整理可得：，由，解得，则切线方程为，则，联立方程组，解得，即即为的中点，所以；（2）证明：当直线的斜率不存在时，其直线为，解得，则，当直线的斜率存在时，设方程为，由题意知，因为直线与圆相切，所以，即，联立方程组，得到，设，则，又，则，综上可知为定值215（202
13、1门头沟区一模）曲线上任一点到点，距离之和为，点，是曲线上一点，直线过点且与直线垂直，直线与轴交于点（）求曲线的方程及点的坐标（用点，的坐标表示）；（）比较与的大小，并证明你的结论【答案】（1）（2）见解析【详解】解：（）由题意可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，（2分）曲线的方程为：，（2分）当时，直线与轴重合，不合题意，当时，直线与轴重合，点是原点，（1分）当，时，由题意得：，直线的方程：，（2分）得，（1分）综上所述，点（1分）（）点，满足方程：，（1分），（1分）将代入整理得：，（2分），（1分）所以，（1分）16（2021浦东新区校级三模）设，平面直角坐标系内的直线，分别与曲线，交于相异的两点、（1）若，求直线的斜率；（2）证明：直线过定点，并求出的坐标；（3）是否存
