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1、抛物线与存在性-6一、解答题(共30小题)1、(2009贵港)如图,抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B(2,0),与y轴的负半轴交于点C,且线段OC的长度是线段OA的2倍,抛物线的对称轴是直线x=1(1)求抛物线的解析式;(2)若过点(0,5)且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P(x,y)为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式;(3)当0x时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由2、(2009广州)如图,二次函数y=x2+px+q(p0
2、)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,1),ABC的面积为(1)求该二次函数的关系式;(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由3、(2009广安)已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OAOC)是方程x25x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1(1)求A、B、C三点的坐标;(2)求此抛物线的解析式;(3)若点D
3、是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DEBC交AC于点E,连接CD,设BD的长为m,CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由4、(2009抚顺)已知:如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a0)与x轴交于点A(2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q是否存
4、在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由5、(2009河池)如图,已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(1,0)(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由6、(2009黄石)正方形ABCD在如图
5、所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE=1,OD=4,抛物线y=ax2+bx4过A、D、F三点(1)求抛物线的解析式;(2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M,交BC所在直线于N,若S四边形AFQM=SFQN,则判断四边形AFQM的形状;(3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得APPH且AP=PH,若存在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由7、(2009湖州)已知抛物线y=x22x+a(a0)与y轴相交于点A,顶点为M直线y=xa分别与x轴,y轴相交于B,C两点,并
6、且与直线AM相交于点N(1)试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标;(2)如图,将NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N恰好落在抛物线上,AN与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积;(3)在抛物线y=x22x+a(a0)上是否存在一点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由8、(2009济南)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(3,0),C(0,2)(1)求这条抛物线的函数表达式;(2)已知在对称轴上存在一点P,使得PBC的周长最小请求出点P的坐标;(3)若
7、点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合)过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m,PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由9、(2009江津区)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交与A(1,0),B(3,0)两点(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使PBC的面积最大,若存在,求出点P的坐标及PBC的面积最大值;若没有,请说
8、明理由10、(2009江汉区)如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点NP、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;(4)探究:t为何值时,PMC为等腰三
9、角形11、(2009来宾)在ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,点D、E分别在AB、AC上,且DE将ABC的周长分成相等的两部分设AE=x,AD=y,ADE的面积为S(1)求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)求出S关于x的函数关系式;试判断S是否有最大值,若有,则求出其最大值,并指出此时ADE的形状;若没有,请说明理由12、(2009昆明)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,OABC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(3,4),点C在y轴的正半轴上动点M在OA上运动,从O点出发到A点;动点N在AB上运动,从A点出发到B点两个动点同时出发,速度都是每秒1个单
10、位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒)(1)求线段AB的长;当t为何值时,MNOC;(2)设CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值?若有最小值,最小值是多少?(3)连接AC,那么是否存在这样的t,使MN与AC互相垂直?若存在,求出这时的t值;若不存在,请说明理由13、(2009荆州)如图,已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形(菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2:1),BAD=120,对角线均在坐标轴上,抛物线y=x2经过AD的中点M(1)填空:A点坐标为_,D点坐标为_;(2
11、)操作:如图,固定菱形ABCD,将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角(090),并延长OE交AD于P,延长OH交CD于Q探究1:在旋转的过程中是否存在某一角度,使得四边形AFEP是平行四边形?若存在,请推断出的值;若不存在,说明理由;探究2:设AP=x,四边形OPDQ的面积为s,求s与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围14、(2009荆门)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且ACBC(1)若m为常数,求抛物线的解析式;(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点;(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是
12、否存在实数m,使得BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由15、(2009来宾)当x=2时,抛物线y=ax2+bx+c取得最小值1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B(1)求该抛物线的关系式;(2)若点M(x,y1),N(x+1,y2)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小;(3)D是线段AC的中点,E为线段AC上一动点(A、C两端点除外),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F问:是否存在DEF与AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由16、(2009临沂)如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,2)三点(1)求出抛物线的
13、解析式;(2)P是抛物线上一动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标17、(2009辽阳)如图,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,A(3,0),过点C的直线y=2x+4与x轴交于点D,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点(1)求B、C两点的坐标;(2)求二次函数解析式;(3)若点P是CD的中点,求证:APCD;(4)在二次函数图象上是否存在点M,使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形,若存
14、在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由?18、(2009辽宁)已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2x+3(a0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=2(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点,请进行如下探究:探究一:如图1,设PAD的面积为S,令W=tS,当0t4时,W是否有最大值如果有,求出W的最大值和此时t的值;如果没有,说明理由;探究二:如图2,是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似?如果存在,求点P的坐标;如果不存在,请说明理由(参考资料:抛物线y=ax2+bx+c(a0)对称轴是直线x=)19、(2009茂名
15、)已知:如图,直线l:y=x+b,经过点M(0,),一组抛物线的顶点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),Bn(n,yn)(n为正整数)依次是直线l上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),An+1(xn+1,0),设x1=d(0d1)(1)求b的值;(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示);(3)定义:若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”探究:当d(0d1)的大小变化时,这组抛物线中是否存在美丽抛物线?若存在,请你求出相应的d的值20、(2009泸州)如图,已知二次函数y=x2+bx+c(c0)的图象与x轴的正半轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且OC2=OAOB(1)求c的值;(2)若ABC的面积为3,求该二次函数的解析式;(3)设D是(2)