《离散型随机变量分布》重点习题（详解）——精品文档

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1、离散型随机变量分布重点习题（详解）精品文档 离散型随机变量分布重点 习题 1.已知 niim- =+11，其中 n m, 是实数， i 是虚数单位，则 = +ni m （）A i 2 1+ B i 2 1- C i + 2D i - 22.下列命题中的真命题是() A x $ R ,使得 sin cos 1.5 x x + =B. (0, ), 1xx e x + + C ( ,0),2 3x xx $ - 3.若55443322 1 05) 2 1 ( x a x a x a x a x a a x + + + + + = +，则= + + +5 3 1 0a a a a（ ）A.122B.

2、123 C.243 D.244 4. (2022 9 年高考数学湖北卷理科 14 ）某射手射击所得环数 的分布列如下：已知 的期望 ，则 y 的值为 5（2022 衡阳市一中高三第一次月考）某学校开设 A 类选修课3门，B 类选修课4门， 6.某单位举办 2022 年上海世博会宣扬活动，进行现场抽奖，盒中有 9 张大小相同的精致图片，卡片上分别印有世博会会徽或海宝（世博会祥瑞物）图案，抽奖规则是：参与者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是海宝卡即可获奖，否则均为不获奖.卡片用后放回盒中，下一位参与者接着重复进行. （）活动起先后，一位参与者问：盒中有几张海宝卡？主持人回答：我只知道，从盒中抽取两

3、张都是世博会会徽卡的概率是185，求抽奖者获奖的概率. ()现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用 x 表示获奖的人数，求 x 的分布列及 , E D x x 的值. 7.（广东理 17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采纳分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 73 81 （1）已知甲厂生产的产品共有 101 件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素 x,y 满意 x≥175，且 y

4、≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 x 的分布列极其均值（即数学期望）。 8.（全国大纲理 18）依据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 03,设各车主购买保险相互独立 （I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率； （）X 表示该地的 l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。9 （ 2022 9 年高考江西卷理科 18）（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的

5、每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道若是1号通道，则须要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别须要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间 (1)求 的分布列； (2)求 的数学期望 10. (2022 9 年高考天津卷理科 18)某射手每次射击击中目标的概率是 ，且各次射击的结果互不影响。()假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率：()假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率：()假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目

6、标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记 ξ 为射手射击3次后的总得分数，求 ξ 的分布列。参考答案1.【答案】C2. 【答案】B 3 4.( (【答案】0.4【解析】由表格可知：. 56.解析：（）设世博会会徽卡有 n 张，由185292=CC n，得 5 = n ，故海宝卡有 4 张，抽奖者获奖的概率为612924=CC；() x )61, 4 ( B 的分布列为 ) 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( )65( )61( ) (44= = =-k C k Pk k kx ； x 0 1 2 3 4 P 4 0

7、04)65( )61(C 3 114)65( )61(C 2 224)65( )61(C 1 334)65( )61(C 0 444)65( )61(C ∴32614 = = x E ，95)611 (614 = - = x D 【点评】此题其次问的关键分析出满意二项分布，从而化解计算.体现在期望和方差的计算. 7.解：（1）1017,5 7 3514= =，即乙厂生产的产品数量为 35 件。（2）易见只有编号为 2，5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2,5故乙厂生产有大约235 145 =（件）优等品，（3）x 的取值为 0，1，2。2 1 1 23 3 2 32

8、 2 25 5 53 3 1( 0) , ( 1) , ( 2)10 5 10C C C CP P PC C Cx x x= = = = = = = = = 所以 x 的分布列为 x 0 1 2 P 310610110故3 3 1 40 1 2 .10 5 10 5E x x = + + + = 的均值为 8.解析：（I）( ) 0.5, ( ) 0.3, , P A P B C A B = = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8. P C P A B P A P B = + = + =（II）, ( ) 1 ( ) 1 0.8 0.2, D C P D P C = = - = -

9、 = (101,0.2) X B，即 X 听从二项分布 所以期望101 0.2 20. EX = = 9解：（1）的全部可能取值为：1，3，4，6 ， ， ， ，所以 的分布列为：1346P（2）（小时）10.【解析】（1）解：设 为射手在5次射击中击中目标的次数，则 .在5次射击中，恰有2次击中目标的概率（）解：设第 次射击击中目标为事务 ；射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标为事务 ,则 = =（）解：由题意可知， 的全部可能取值为= 所以 的分布列是01236P 例 3、【2022 唐山第一次模拟考试】某媒体对男女同龄退休这一公众关注的问题进行了民意调查，右表是在某单

10、位得到的数据（人数）：（）能否有 % 90 的把握认为对这一问题的看法与性别有关？ ()进一步调查：（i）从赞同男女同龄退休的 16 人中选出 3 人进行陈述性发言，求事务男士的女士各至少有 1 人发言的概率； （ii）从反对男女同龄退休的 9 人中选出 3 人进行座谈，设参与调查的女士人数为 X，求 X 的分布列和均值.赞同 反对 合计 男 5 6 11 女 11 3 14 合计 16 9 25 附表： 解：（）K2 25×(5×36×11)216×9×11×14≈2.9322.736， 由此可知，有 90%

11、的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （）（）记题设事务为 A ，则 所求概率为：.1611CC C(A)3161112521115=+=C Cp 例 6、【2022 哈尔滨六中一模】某高校在 2022 年的自主招生考试成果中随机抽取 101名学生的笔试成果，按成果分组：第 1 组 ) 80 , 75 ，第 2 组 ) 85 , 80 ，第 3 组 ) 90 , 85 ，第 4 组 ) 95 , 90 ，第 5 组 101 , 95 得到的频率分布直方图如图所示 （1）分别求第 3，4，5 组的频率； （2）若该校确定在第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进入其次轮面试， 已知

12、学生甲和学生乙的成果均在第 3 组，求学生甲和学生乙同时进入其次轮面试的概率； 学校确定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，第 4 组中有 x 名学生被考官 D 面试，求 x 的分布列和数学期望解析：（1）第 3 组的频率为 3 . 0 5 06 . 0 = ；第 4 组的频率为 2 . 0 5 04 . 0 = ； 第 5 组的频率为 1 . 0 5 02 . 0 = （1）按分层抽样的方法在第 3、4、5 组中分别抽取 3 人、2 人、1 人。 第 3 组共有 30 101 3 . 0 = ，设学生甲和学生乙同时进入其次轮面试为事务 A1451) (330128=

13、=CCA P ， 学生甲和学生乙同时进入其次轮面试的概率为1451 x 可取值为 2 , 1 , 0156) 0 (2624= = =CCP x ，158) 1 (261412= = =CC CP x ，151) 2 (2622= = =CCP xx 的分布列为x0 1 2P156 158 151 321510151215811560 = = + + = x E例 9（安徽理 20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危急的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，假如有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们

14、各自能完成任务的概率分别, , p p p1 2 3 ，假设, , p p p1 2 3 互不相等，且假定各人能否完成任务的事务相互独立. （）假如按甲最先，乙次之，丙最终的依次派人，求任务能被完成的概率。若变更三个人被派出的先后依次，任务能被完成的概率是否发生改变？ （）若按某指定依次派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为, , q q q1 2 3 ，其中, , q q q1 2 3 是, , p p p1 2 3的一个排列，求所需派出人员数目 X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （）假定p p p1 2 31 ，试分析以怎样的先后依次派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望

15、）达到最小。解：本题考查相互独立事务的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本学问，考查在困难情境下处理问题的实力以及抽象概括实力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的依次派出人员，任务不能被完成的概率都是) 1 )( 1 )( 1 (3 2 1p p p - - -，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后依次无关，并等于. ) 1 )( 1 )( 1 ( 13 2 1 1 3 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1p p p p p p p p p p p p p p p + - - - + + = - - - -（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为3 2 1, , q q q时，随机变量 X 的分布列为X 1 2