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1、湖南省长沙市历经铺乡联校2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于给定的正整数数列an，满足an+1=an+bn，其中bn是an的末位数字，下列关于数列an的说法正确的是（）A如果a1是5的倍数，那么数列an与数列2n必有相同的项B如果a1不是5的倍数，那么数列an与数列2n必没有相同的项C如果a1不是5的倍数，那么数列an与数列2n只有有限个相同的项D如果a1不是5的倍数，那么数列an与数列2n有无穷多个相同的项参考答案：D【考点】数列递推式【分析】分类讨论：当a1是5的倍数，则数
2、列an的末位数字是5或0，数列2n的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，判断A不正确；当a1不是5的倍数时，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列an的末位数字可以是2，4，6，8，数列2n的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，由此判断B，C不正确，D正确【解答】解：如果a1是5的倍数，则数列an的末位数字是5或0，数列2n的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，因此A不正确；当a1不是5的倍数时，这个数加上它的末位数字，一直加下去，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列an的末位数字可以是2，4，6，8，数列2n的末位数字有
3、且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，因此B，C不正确，D正确关于数列an的说法正确的是：D故选：D【点评】本题考查命题真假判断与应用，考查了数列递推式的运用，求解此类题的关键是要对命题涉及的知识有很好的理解与掌握，是中档题2. 执行如图所示的程序框图，如果随机输入的t2，2，则事件“输出的S（1，7”发生的概率为（）ABCD参考答案：B【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到输出S3，1（2，10，区间长为10，即可求出概率【解答】解：若0t2，则不满足条件输出S=t33，1，若2t0，则满足条件，此时t=2t2+2（2
4、，10，此时不满足条件，输出S3，1（2，10，区间长为10，事件“输出的S（1，7”发生的概率为=故选B3. 已知都是正实数，且满足，则的最小值为（A）12 （B）10 （C）8 （D）6参考答案：C4. 命题“若=，则tan=1”的逆否命题是 A.若，则tan1 B.若tan1，则C.若=，则tan1 D.若tan1，则=参考答案：A略5. 设向量，定义一运算：,已知，。点Q在的图像上运动，且满足 （其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（ ）A B C D参考答案：B6. 下列结论正确的是A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B从圆柱上，下底边圆周上各取一点的连线必是圆柱的母线C若
5、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线参考答案：DA错误如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥C错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=A B C D 参考答案：B8. 已知正项等差数列an满足a1+a2014=2，则+的最小值为( )A1B2C2013D2014参考答案：B【考点】等差数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】利
6、用等差数列的性质结合已知求得a2+a2013=2，进一步得到，则+=（）（+），然后利用基本不等式求最值【解答】解：数列an为等差数列，则a2+a2013=a1+a2014=2，又an0，则+=（）（+）=1+上式当且仅当a2=a2013=1时取“=”故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，考查了基本不等式求最值，是基础题9. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（ ） A B C D参考答案：B略10. 设集合A=y|y=cosx，xR，B=y|y=2x，xA，则AB=（）AB1，2CD0，1参考答案：A【考点】1E：交集及其运算【分析】求出集合A，B，根据集合的基本
7、运算即可得到结论【解答】解：A=y|y=cosx=y|1y1=1，1，B=y|y=2x，xA=，2则AB=，1故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若有4个根，则的取值范围是。参考答案：如图，从而易知，于是，故【考点】函数与方程，数形结合思想。12. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为_参考答案：13. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V1，该正方体的体积为V2，则V1V2_. 参考答案：14. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设则的
8、最小值为 .参考答案：略15. 坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_.参考答案：把曲线方程化为直角坐标方程为：，把直线方程转化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为：，所以弦长为，即两个交点之间的距离为。16. 曲线在点（1，2）处的切线方程是 参考答案：y-x-1=017. 给出下列四个命题：已知都是正数，且，则；若函数的定义域是，则；已知x（0，），则y=sinx+的最小值为；已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是_。 参考答案：，三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明
9、过程或演算步骤18. (本小题满分10分)已知关于的不等式 （1）当时，求不等式解集； （2）若不等式有解，求的范围。参考答案：（1）由题意可得： 1分当时，即 2分当时，即 3分当时，即 4分该不等式解集为. 5分 （2）令，有题意可知： 6分又 8分 9分即， 10分19. (17) (本小题满分13分) 如图, 三棱柱ABCA1B1C1中, 侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. () 证明EF/平面A1CD; () 证明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 参考答案：20. （本小题满分1
10、2分）今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重大节假日，10月3日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队，组织车友前往重庆游玩。该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s）, 匀速通过该隧道，设车队的速度为m/s ，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当时，相邻两车之间保持m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为（1）将表示为的函数；（2）求该车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度 参考答案：（1）解：当时， -2分当时，-4分所
11、以，-6分（2）当时，在（m/s）时， -8分当时，当且仅当，即：(m/s)时取等号。-10分因为，所以 当(m/s)时，因为,所以当(m/s)时，-11分答：该车队通过隧道时间的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s-12分略21. （本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：参考答案：（1）当时，有，解得当时，有，解得2分（2）（法一）当时，有, 得：，即：5分 8分另解：又当时，有， 8分（法二）根据，猜想： 3分用数学归纳法证明如下： （）当时，有，猜想成立 （）假设当时，猜想也成立，即：那么当时，有，即：，又 ， -
12、得：，解，得 当时，猜想也成立 因此，由数学归纳法证得成立8分（3）， 10分 14分22. (本小题满分12分)已知函数（）当时，求的单调区间；（）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围参考答案：（）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（）解：（）当时，所以，当时，；当时，；所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为（）因为，所以处切线的斜率，所以切线的方程为，令，得 .当时，要使得点的纵坐标恒小于1，只需，即.令，则，因为，所以，若即时，所以，当时，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意.若即时， 所以，当时，即在上单调递减，所以，所以不满足题意.若即时，.则、的关系如下表
