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1、湖南省株洲市七地中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知圆C:x2+y2=4上所有的点满足约束条件 ,当m取最小值时,可行域(不等式组所围成的平面区域)的面积为()A48B54C24D36参考答案:B【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据三角形的面积最小求出m的最小值,结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,要使圆C:x2+y2=4上所有的点满足约束条件,则m2,则m取最小值2时,阴影部分的面积最小,由得,即C(2,6),由得,即A(2,1
2、2),由得,即B(4,0),则三角形的面积S= 2(4)12(6)= =54,故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,以及三角形的面积的计算,根据图象求出m的最小值是解决本题的关键2. 下列说法正确的是( )A.方程表示过点且斜率为的直线B.直线与轴的交点为,其中截距C.在轴、轴上的截距分别为、的直线方程为D.方程表示过任意不同两点,的直线参考答案:D3. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是( )A B C D参考答案:D4. 已知二面角的平面角为,P为空间一点,作PA,PB,A,B为垂足,且,设点A、B到二面角的棱的距离为别为则当变化时,点的轨迹是下列图形中的参考答案:D略5. 等差数列
3、中,,则等于( ) A2 B9 C18 D20参考答案:C略6. 如下图,该程序运行后输出的结果为( )A 7 B 15 C 31 D 63参考答案:D7. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若为正三角形,则该椭圆的离心率e为( )A. B. C. D. 参考答案:D在方程中,令,可得,ABF2为正三角形,即,整理得,解得或(舍去)选D点睛:求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值,由直接求(2)列出含有的方程(或不等式),借助于消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解8. 在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=( )A
4、10B18C20D28参考答案:C【考点】等差数列的性质【专题】计算题;等差数列与等比数列【分析】根据等差数列性质可得:3a5+a7=2(a5+a6)=2(a3+a8)即可得到结论【解答】解:由等差数列的性质得:3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+(2a6)=2(a5+a6)=2(a3+a8)=20,故选C【点评】本题考查等差数列的性质及其应用,属基础题,准确理解有关性质是解决问题的关键9. 下列命题中正确的是 ( ) A当 B当,C当,的最小值为 D当无最大值参考答案:B10. P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3) 2+y2=4和(x-3) 2+y2=1上的点,则|PM|+
5、|PN|的取值范围是()ABCD参考答案:A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. RtABC中,AB=3,BC=4,AC=5,将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为 参考答案:12. 在数列an中,a1=2,an+1=4an3n+1,nN*且n1,若Sn+14Sn恒成立,则实数的取值范围为参考答案:0,+)考点: 数列递推式专题: 等差数列与等比数列分析: 由已知条件推导出an=4n1+n,Sn=,Sn+1=+,从而Sn+14Sn=(3n2+n4),n=1,最大值为0由此能求出实数的取值范围解答: 解:由题设a n+1=4an3n+1,得a n+1(n+1)=4
6、(ann),nN* 又a11=1,所以数列ann是首项为1,且公比为4的等比数列ann=4 n1,于是数列an的通项公式为an=4n1+n数列an的前n项和Sn=,Sn+1=+Sn+14Sn=(3n2+n4),n=1,最大值为0Sn+14Sn恒成立,0,实数的取值范围为0,+)故答案为:0,+)点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用13. 已知x,y取值如下表:从散点图中可以看出y与x线性相关,且回归方程为0.95x+a,则a参考答案:略14. 已知空间两点、,则A、B两点间的距离为 . 参考答案:5空间两点、,由空间中两点间距离公式可得,故答案
7、为5.15. 已知两圆和相交于A,B两点,则直线AB的方程为 参考答案: 略16. 已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为参考答案:=1【考点】圆锥曲线的轨迹问题【分析】利用点差法求出直线AB的斜率,再根据F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),可建立方程组,从而可求双曲线的方程【解答】解:由题意,不妨设双曲线的方程为F(3,0)是E的焦点,c=3,a2+b2=9设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:;由得: =AB的中点为N(12,15),又AB的
8、斜率是,即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9,可得a2=4,b2=5双曲线标准方程是故答案为:17. 设数列an的前n项和为,对任意,满足220,则数列an的通项公式为_-_参考答案: 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 如图,在一个由矩形与正三角形组合而成的平面图形中,现将正三角形沿折成四棱锥,使在平面内的射影恰好在边上 (1)求证:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值参考答案:解:(1)折起后,因在平面内的射影在边上,所以,平面平面且交线为.4分又矩形,所以,由两平面垂直的性质定理,平面平面.7分(2)折起后,由(1),
9、 在中,同理得9分而,又 ,知PAC是所求角11分在中,.13分即直线与平面所成角的正弦值为14分略19. 某重点高中计划面向高二年级1200名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了180名学生对社会科学类,自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有105人在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人(1)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率,并以统计的频率作为概率,估计实际选课中选择社会科学类学生的人数;(2)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下列22列联表并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的
10、选择与性别有关?选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计附:,其中P(K2k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案:()由条件知,抽取的男生为105人,女生为180-105=75人;男生选择社会科学类的频率为,女生选择社会科学类的频率为; (2分)由题意,男生总数为人,女生总数为人, (4分)所以,估计选择社会科学的人数为人; (6分)()根据统计数据,可得列联表如下: 选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180计算观
11、测值,所以,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关 (12分)20. (本题满分7分)画出不等式组所表示的平面区域参考答案:解:直线,在坐标系中如图,所以所求的平面区域就是图中的阴影部分略21. 设数列满足,.(1)求;(2)先猜想出的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想.参考答案:(1)(2),证明见解析.解析 :解:(1)由条件,依次得, 6分(2)由(1),猜想. 7分下用数学归纳法证明之:当时,猜想成立; 8分假设当时,猜想成立,即有, 9分则当时,有,即当时猜想也成立, 13分综合知,数列通项公式为. 14分略22. (本题满分12分)函数(1)求的单调区间与极值(2)求证当且时,参考答案:(1)由知令_0+单调递减单调递增故的单调递减区间是,单调递增区间是在处取得极小值,极小值为 。6分(2)证明:设于是由(1)知的最小值为,当时故为R上的增函数,时即 。12分