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1、湖南省怀化市黄壤坪乡中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆x2y28x4y0与圆x2y220关于直线ykxb对称，则k与b的值分别等于Ak2，b5 Bk2，b5Ck2，b5 Dk2，b5参考答案：B略2. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.cm3 B.cm3 C. cm3 D. cm3参考答案：A3. 已知与均为单位向量，它
2、们的夹角为60，那么等于（ ）A. B. C. D. 4参考答案：A本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知=，所以应选A。4. 在ABC中，若则三边的比等于（ ）A B C D参考答案：B 解析： 5. 已知集合A=1,2,3,B=1,3,则AB= ( )A.2 B.1,2 C.1,3 D.1,2,3参考答案：C6. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A若点A的纵坐标是，那么sin的值是（）ABCD参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值【解答】解：由题意可得，
3、点A的纵坐标是，那么sin的值是，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题7. 已知集合，则集合中元素的个数是（ ）（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)无穷多参考答案：A8. 若点A（，1）的直线l1： x+ay2=0与过点B（，4）的直线l2交于点C，若ABC是以AB为底边的等腰三角形，则l2的方程为（）A x+y7=0B xy+7=0Cx+y7=0Dxy7=0参考答案：A【考点】IG：直线的一般式方程【分析】把点A代入直线l1求出a的值，求出直线l1的斜率，再根据等腰三角形的性质可得l2的斜率，根据点斜式求出直线方程即可【解答】解：过点的直线点A（，1）3+a2=
4、0，解得a=1；直线l1的斜率为；ABC是以AB为底边的等腰三角形，直线l2的斜率为；直线方程为y4=（x），化为一般式： x+y7=0故选：A9. 下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】首先利用辅助角公式将函数化为，然后再采用整体代入即可求解.【详解】由函数，所以，解得，当时， 故函数图象的对称中心的是.故选：B【点睛】本题考查了辅助角公式以及整体代入法求三角函数的中心对称点，需熟记三角函数的性质，属于基础题.10. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔
5、A、B间的距离为（ ）A500米 B600米 C700米 D800米参考答案：C在中，由余弦定理得AB2=5002+30022500300cos120=490 000所以AB=700（米）故选C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分0.51+40.5= ；lg2+lg5（）0= ；（2）1+（2+）1= 参考答案：4,0,4.【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【分析】利用有理数指数幂、对数的性质及运算法则求解【解答】解：0.51+40.5=2+2=4；lg2+lg5（）0=lg101=11=0；（2）1+（2+）1=（2+）+（2）=412. 函数为增函数的区间是 .
6、参考答案：略13. 在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是参考答案：40【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用【分析】先假设所填角为，再由同角函数的基本关系将正切转化为正余弦函数的比值，再由两角和与差的正弦公式和正弦函数的二倍角公式可得答案【解答】解：设所填角为cos（1+tan10）=cos（）=cos=1cos=cos40=40故答案为：4014. 设a，bR，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为参考答案：8【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i
7、，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案【解答】解：由题，a，bR，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为815. 若关于x的不等式的解集是(1,2)，则a=_，b=_.参考答案：1 2【分析】由题得，解方程即得解.【详解】由题得，所以a=1,b=-2.故答案为： 1 2【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16. 定义：区间m，n、(m，n、m，n)、(m，n)（nm）的区间长度为；若某个不等式的解集由若干个无交集的区间的并表示，则各区间的长度之和称为解集的总长度。已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为
8、-3，3，则不等式解集的总长度的取值范围是_。参考答案：0，3是偶函数，是奇函数，若，使得，则，解集的总长度至多为，例如，。如果函数的解集总长度不为0，则解集的总长度相应减少，直至为0。解集的总长度的取值范围是0，3。17. 直线与函数图像的交点有 个。参考答案：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 爱因斯坦提出：“人的差异在于业余时间”某校要对本校高一年级900名学生的周末学习时间进行调查现从中抽取50名学生进行分析，其频率分布直方图如图所示记第一组0,2)，第二组2,4)，以此类推（）求第二组的频率；（）根据频率分布直方图，用样本估计总体的
9、思想，估计高一年级学生周末学习时间在小时的人数；（）根据频率分布直方图，估计高一年级学生周末学习的平均时间参考答案：解：（） 3分（） 6分（）略19. 已知f（x）=sin2（2x）2t?sin（2x）+t26t+1（x，）其最小值为g（t）（1）求g（t）的表达式；（2）当t1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值【分析】（1）利用x的范围确定sin（2x），对函数解析式化简整理，对t进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的g（t）的解析式，最后综合（2）根据（1）中获得当时g（t）的解析式
10、，令h（t）=g（t）kt，要使g（t）=kt有一个实根需h（）和h（1）异号即可【解答】解：（1）x，sin（2x），1，f（x）=sin（2xt26t+1，当t时，则当sinx=时，f（x）min=；当t1时，当sinx=t时，f（x）min=6t+1；当t1时，当sinx=1时，f（x）min=t28t+2；g（t）=（2）当时，g（t）=6t+1令h（t）=g（t）kt欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使或即可解得k8或k5【点评】本题主要考查了抛物线的基本性质，分类讨论思想，分段函数等知识注意运用数形结合和分类讨论的思想20. 已知函数f（x）=x2-2ax+1，x0，2上（1）若
11、a=-1，则f（x）的最小值；（2）若，求f（x）的最大值；（3）求f（x）的最小值参考答案：（1）f（x）min=1 （2）f（x）max=3 （3）【分析】（1）（2）根据二次函数的性质可以求得f（x）的最值；（3）轴动区间定，分类讨论求最小值即可【详解】（1）当a=-1时，f（x）=x2+2x+1，因为x0，2，f（x）min=1；（2）当，f（x）=x2-x+1，因为x0，2，f（x）max=3；（3）当a0时，f（x）min=1，当0a2时，f（x）min=1-a2，当a2时，f（x）min=5-4a，综上：【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，属于基础题21. （10分）设，求证：（1）若.（2）若其中是有理数.参考答案：。所以。（2）由（1）得，所以可设，又，所以22. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值.参考答案：(1) 最小正周期是 (2) 【分析】（1）运用辅助角公式化简得；（2）先计算的值为，构造，求出的值.【详解】（1）因为，所以，所以函数的最小正周期是.（2）因为 ，所以，因为，所以，所以，则【点睛】利用角的配凑法，即进行角的整体代入求值，考查整体思想的运用.
