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1、湖北省襄阳市高级中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A3B3C6D6参考答案:C2. 设定义域为R的函数,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的解x1,x2,x3,则的值是()A1B3C5D10参考答案:C【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】做出f(x)的函数图象,判断f(x)=t的解的情况,根据f2(x)+bf(x)+c=0的解得个数判断f(x)的范围,得出x1,x2,x3【解答】解:令f(x)=t,
2、做出f(x)的函数图象如下:由图象可知当t=1时,f(x)=t有三解,当0t1或t1时,f(x)=t有两解,当t0时,方程f(x)=t无解关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的解x1,x2,x3,f(x)=1,当x1时,令=1解得x=0,当x1时,令解得x=2,当x=1时,显然x=1是f(x)=1的解不妨设x1x2x3,则x1=0,x2=1,x3=2,=5故选C3. 从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有( ). B A120个 B480个 C720个 D840个参考答案:B4. 已知an是等差数列,公差
3、d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()Aa1d0,dS40Ba1d0,dS40Ca1d0,dS40Da1d0,dS40参考答案:B【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号【解答】解:设等差数列an的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:d0,=0故选:B【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题5. 已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直,且SA=2,SB=SC
4、=4,则该三棱锥的外接球的半径为( ) A36 B6 C3 D9 参考答案:C略6. 已知一个算法,其流程图右图,则输出的结果是( )A.10 B.11 C.8 D.9参考答案:A7. 有二种产品,合格率分别为0.90,0.95,各取一件进行检验,恰有一件不合格的概率为()A0.45B0.14C0.014D0.045参考答案:B略8. 已知向量+=(2,8),=(8,16),则与夹角的余弦值为()ABCD参考答案:B【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角【分析】利用向量坐标关系,求出=(3,4),=(5,12),再利用cos=求解即可【解答】解:由向量,得=(3,4),=(5,12),所以|=
5、5,|=13, =63,即与夹角的余弦值cos=故选:B9. 已知、均为单位向量,且满足?=0,则(+)?(+)的最大值是()A2+2B2+C3+D1+2参考答案:B【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先将已知等式展开,得到(+)?(+)=2+?(2+),再利用向量的数量积转为关于向量夹角的式子,求最值【解答】解:、均为单位向量,且满足?=0,(+)?(+)=+2+=2+?(2+)=2+|?|2|cos,2=2+cos,2,当cos,2=1时,( +)?(+)的最大值是 2+故选B【点评】本题考查了向量的数量积的定义以及运用,当向量的夹角为0时,数量积最大10. 在复平面内,复数(是虚数单位
6、)对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限参考答案:D 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义L4解析:=1i,数(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限故选D【思路点拨】利用复数的代数运算将转化为1i,即可判断它在复平面内的位置二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x、y满足约束条件,则z=|x|+|y|的最大值是参考答案:2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域,当x0,y0时,z=|x|+|y|=x+y,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解是坐标代入目标函数得z=|x|+|y|的最大值,由
7、对称性可得z=|x|+|y|的最大值【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,当x0,y0时,z=|x|+|y|=x+y,过A时z有最大值为2,则由对称性可知,z=|x|+|y|的最大值是2故答案为:212. 若、是椭圆的左、右两个焦点,是椭圆上的动点,则的最小值为 . 参考答案:113. 若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是_参考答案:略14. 已知函数是函数的反函数,则 (要求写明自变量的取值范围)参考答案:略15. 上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 参考答案:16. 曲线在处的切线方程为 .参考答案:17. 已知点是抛物线的对称轴
8、与准线的交点,点是抛物线焦点,点在抛物线上,且满足,当取最大值时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为 参考答案:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,)。 ()求C1的直角坐标方程; ()当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围。参考答案:()曲线的极坐标方程为,曲线的直角坐标方程为 -3分()曲线的直角坐标方程为,为半圆弧,如下图所示,曲线为一族平行于直线的直线, -4
9、分当直线过点时,利用得,舍去,则,当直线过点、两点时, -6分由图可知,当时,曲线与曲线有两个公共点 -7分19. (本小题满分12分)已知a,b为常数,且a0,函数(e=2.71828是自然对数的底数).(I) 求实数b的值;(II)求函数f(x)的单调区间;参考答案:(1)由得.(2)由(1)可得从而,因为a0,故有:当时,由得;由得;当时,由得;由得.综上所述, 当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为(0,1);当时, 函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为.20. 已知p:2;q:x22x1m20 (m0),且p是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围参考答案:略21.
10、(12分)在中,内角对边的边长分别是.已知.()若的面积等于,试判断的形状,并说明理由;()若sinC+sin(BA)=2sin2A,求的面积.参考答案:()为等边三角形,理由为:,由余弦定理得:,即,的面积等于,即ab=4,联立解得:a=b=2,则ABC为等边三角形;()由sinC+sin(BA)=2sin2A,变形得:sin(B+A)+sin(BA)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,若cosA=0,即A=,由c=2,C=,得b=,此时面积;若,可得sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a,联立得:,此时ABC面积为.本题考查的知识点为正弦定理.()ABC为等
11、边三角形,理由为:利用余弦定理列出关系式,把c,cosC的值代入得到关系式,再由ABC的面积等于,利用三角形面积公式列出关系式,两式联立求出a与b的值,即可对于ABC的形状做出判断;()已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简,再利用和差化积公式变形,由cosA为0与cosA不为0两种情况,分别求出三角形ABC面积即可.22. (本小题满分12分)交通指数是指交通拥堵指数简称, 是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为,其范围为,分别有五个级别:畅通:基本畅通:轻度拥堵:中度拥堵:严重拥堵. 在晚高峰时段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示:(1)在这个路段中, 轻度拥
12、堵、中度拥堵的路段各有多少个?(2)从这个路段中随机抽出个路段, 用表示抽取的中度拥堵的路段的个数, 求的分布列及数学期望.参考答案:(1)9,(2)试题分析:(1)频率分布直方图中小长方形面积表示对应区间的概率,因此轻度拥堵的路段频率为,个数(频数)为,同理可得中度拥堵的路段个数是.(2)先确定随机变量取法,再利用组合数分别求各自概率,列表可得分布列,最后利用公式求数学期望考点:频率分布直方图,概率分布及数学期望 【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n,p),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.