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1、湖北省荆门市钟祥市张集中学高一数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设,则的最小值是( )A2 B4 C D5参考答案:B略2. 从甲乙两个城市分别随机抽取15台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,中位数分别为m1,m2,则()A,m1m2B,m1m2C,m1m2D,m1m2参考答案:A3. 已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()ABCD参考答案:A【考点】平行向量与共线向量;单位向量【分析】由条件求得=(3,4),|
2、=5,再根据与向量同方向的单位向量为求得结果【解答】解:已知点A(1,3),B(4,1),=(4,1)(1,3)=(3,4),|=5,则与向量同方向的单位向量为=,故选A【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法,属于基础题4. 如果函数f(x)=x2+2(a1)x+2在(,4上是减函数,那么实数a取值范围是()Aa3Ba3Ca5Da5参考答案:A【考点】二次函数的性质【分析】先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(,4上是减函数”,知对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果【解答】解:f(x)=x2+2(a1)x+2=(x+a1)2+2(a1)2其对称轴为:x=1a函数f(x)=x2
3、+2(a1)x+2在(,4上是减函数1a4a3故选A5. 点P在直线上,O为坐标原点,则OP的最小值是( )A2 B C2 D参考答案:C6. 若,是第三象限的角,则等于( )A. B. C. D. 参考答案:A【分析】先由同角三角函数的关系求出的正弦值,再利用两角和的正弦公式,结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为,是第三象限的角,所以,故选A.7. 等比数列的前n项和,则( )(A) (B) (C) 0 (D) 参考答案:D略8. 函数为增函数的区间是:A B C D参考答案:C略9. 已知数列满足,则 2 参考答案:B10. 同时具有以下性质:“最小正周期是;图象关于直线x对称;在上
4、是增函数”的一个函数是 () A.ysin() B.ycos() C.ysin() D. ycos()参考答案:C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四面体的棱长为2,则该四面体的内切球的表面积为 参考答案:12. 在边长为2的正三角形内随机地取一点,则该点到三角形各顶点的距离均不小于1的概率是 .参考答案:略13. 已知正四棱锥的底面面积为16,一条侧棱长为,则它的斜高为 ; 参考答案:14. 对于数列an满足:,其前n项和为Sn,记满足条件的所有数列an中,的最大值为a,最小值为b,则 参考答案: 2048 15. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆
5、心角所对弧长为参考答案:【考点】弧长公式【专题】计算题【分析】解直角三角形AOC,求出半径AO,代入弧长公式求出弧长的值【解答】解:如图:设AOB=2,AB=2,过点0作OCAB,C为垂足,并延长OC交于D,则AOD=BOD=1,AC=AB=1RtAOC中,r=AO=,从而弧长为 r=2=,故答案为【点评】本题考查弧长公式的应用,解直角三角形求出扇形的半径AO的值,是解决问题的关键,属于基础题16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB1与CC1所成的角为 ,异面直线AB1与CD1所成的角为 ,异面直线AB1与A1D所成的角为 。参考答案:17. 函数f(x)=cos( x+)的图
6、象向右平移(0)个单位,所得函数图象关于y轴对称,则的最小值为参考答案:【考点】函数y=Asin(x+)的图象变换【分析】函数f(x)=cos(x+)的图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称,可得出函数的形式变为了y=cos(+),kz,由余弦函数的对称性此得出的表达式判断出的最小正值得出答案【解答】解:函数f(x)=cos(x+)的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数解析式为:y=cos(+)由于其图象关于y轴对称,+=k,kz,=2k,kz,由0,可得:当k=0时,的最小正值是故答案为:【点评】本题考查函数y=Asin(x+)的图象变换,解题的关键是熟练掌握、理解三角函数图象的变换规律,
7、由这些规律得到关于的方程,再根据所得出的方程判断出的最小正值,本题考查图象变换,题型新颖,题后注意总结此类题的做题规律,在近几年的高考中,此类题出现频率较高,应多加重视三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知函数是定义在(1,1)上的奇函数,且.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断当时函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)解不等式参考答案:(1);(2) 在上是增函数,证明详见解析;(3).【分析】(1)根据函数是奇函数得,再由可得的值,从而得函数的解析式;(2)设,作差得,即可得解;(3)由函数是奇函数和(2)的结论,建立不等式组,解
8、之得解.【详解】(1)由 ,知:。又,(2) 在上是增函数,证明如下:设,则 又 , ,从而 ,即 所以 在上是增函数.(3)由题意知:由 , 得,即为 由(2)知: 在上是增函数,所以 即为 ,解得:又,且 所以且,即.不等式解集为,故得解.【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式,关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法,求解不等式时注意考虑函数的定义域,属于中档题.19. 已知向量(cosx,sinx),(),且x0,(1)求(2)设函数+,求函数的最值及相应的的值。参考答案:解析:(I)由已知条件: , 得: 7分 (2) 10分因为:,所以:所
9、以,只有当: 时, ,或时,14分20. 若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得数列an的前n项和,则称an是“回归数列”.(1)前n项和为的数列an是否是“回归数列”?并请说明理由;通项公式为的数列bn是否是“回归数列”?并请说明理由;(2)设an是等差数列,首项,公差,若an是“回归数列”,求d的值;(3)是否对任意的等差数列an,总存在两个“回归数列” bn和cn,使得成立,请给出你的结论,并说明理由.参考答案:(1)是;是;(2)1;(3)见解析.【分析】(1)利用公式和 ,求出数列的通项公式,按照回归数列的定义进行判断;求出数列的前项和,按照回归数列的定义进行判断;(2)求出的前项
10、和,根据是“回归数列”,可得到等式,通过取特殊值,求出的值;(3)等差数列的公差为,构造数列,可证明、是等差数列,再利用等差数列前项和,及其通项公式,回归数列的概念,即可求出.【详解】(1)当时,当时,当时,所以数列是“回归数列”;因为,所以前n项和,根据题意,因为一定是偶数,所以存在,使得,所以数列“回归数列”;(2)设是等差数列为,由题意可知:对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,即,取,得,解得,公差,所以,又;(3)设等差数列=,总存在两个回归数列,显然和是等差数列,使得,证明如下:,数列前n项和,时,为正整数,当时,所以存在正整数,使得,所以是“回归数列”,数列前n项和,存
11、在正整数,使得,所以是“回归数列”,所以结论成立.【点睛】本题考查了公式,等差数列的前项和、通项公式,考查了推理能力、数学运算能力.21. 定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意xD,存在常数M0,使得|f(x)|M成立,则称f(x) 是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界已知函数f(x)=4x+p?2x+1,g(x)=()当p=1时,求函数f(x)在(,0)上的值域,并判断函数f(x)在(,0)上是否为有界函数,请说明理由;()若,函数g(x)在0,1上的上界是H(q),求H(q)的取值范围;()若函数f(x)在0,+)上是以3为上界的有界函数,求实数p的取值范围参考答案:【考点
12、】函数与方程的综合运用【分析】()当a=1时,f(x)=1+()x+()x,可判断f(x)在(,0)上的单调性,由单调性可得求得f(x)在(,0)上的值域,由值域可判断函数f(x)在(,0)上是否为有界函数 ()g(x)=1,易判断g(x)在0,1上的单调性,由单调性可求得g(x)的值域,进而求得|g(x)|的值域,由上界定义可求得H(q)的范围;()由题意知,|f(x)|3在0,+)上恒成立,即3f(x)3恒成立,设t=()x,t(0,1,则转化为31+pt+t23恒成立,分离参数p后转化为求函数最值即可解决;【解答】解:()当a=1时,f(x)=1+()x+()x,因为f(x)在(,0)上递减,所以f(x)f(0)=3,即f(x)在(,0)的值域为(3,+),故不存在常数M0,使|f(x)|M成立所以函数f(x)在(,0)上不是有界函数 ()g(x)=1,q0,x0,1,g(x)在0,1上递减,g(1)g(x)g(0),即,q(0,|,|g(x)|,H(q)|,即H(q)的取值范围为,+)()由题意知,|f(x)|3在0,+)上恒成立,设t=,t(0,1,由3f(x)3,得31+pt+t23,(t+)pt在(0,1上恒成立,设h(t)=t,m(t)=t,则h(t)在(0,1上递增;m(t)在(0,1上递减,所以h(t