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1、湖北省荆门市钟祥市张集中学高一数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则的最小值是（ ）A2 B4 C D5参考答案：B略2. 从甲乙两个城市分别随机抽取15台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为m1，m2，则（）A，m1m2B，m1m2C，m1m2D，m1m2参考答案：A3. 已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD参考答案：A【考点】平行向量与共线向量；单位向量【分析】由条件求得=（3，4），|
2、=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果【解答】解：已知点A（1，3），B（4，1），=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题4. 如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4上是减函数，那么实数a取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da5参考答案：A【考点】二次函数的性质【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（，4上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果【解答】解：f（x）=x2+2（a1）x+2=（x+a1）2+2（a1）2其对称轴为：x=1a函数f（x）=x2
3、+2（a1）x+2在（，4上是减函数1a4a3故选A5. 点P在直线上,O为坐标原点,则OP的最小值是（ ）A2 B C2 D参考答案：C6. 若，是第三象限的角，则等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】先由同角三角函数的关系求出的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为，是第三象限的角，所以，故选A.7. 等比数列的前n项和，则（ ）(A) (B) (C) 0 (D) 参考答案：D略8. 函数为增函数的区间是：A B C D参考答案：C略9. 已知数列满足，则 2 参考答案：B10. 同时具有以下性质：“最小正周期是；图象关于直线x对称；在上
4、是增函数”的一个函数是 （） A.ysin() B.ycos() C.ysin() D. ycos()参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正四面体的棱长为2，则该四面体的内切球的表面积为 参考答案：12. 在边长为2的正三角形内随机地取一点，则该点到三角形各顶点的距离均不小于1的概率是 .参考答案：略13. 已知正四棱锥的底面面积为16，一条侧棱长为，则它的斜高为 ； 参考答案：14. 对于数列an满足：，其前n项和为Sn，记满足条件的所有数列an中，的最大值为a，最小值为b，则 参考答案： 2048 15. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆
5、心角所对弧长为参考答案：【考点】弧长公式【专题】计算题【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值【解答】解：如图：设AOB=2，AB=2，过点0作OCAB，C为垂足，并延长OC交于D，则AOD=BOD=1，AC=AB=1RtAOC中，r=AO=，从而弧长为 r=2=，故答案为【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键，属于基础题16. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB1与CC1所成的角为 ，异面直线AB1与CD1所成的角为 ，异面直线AB1与A1D所成的角为 。参考答案：17. 函数f（x）=cos（ x+）的图
6、象向右平移（0）个单位，所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为参考答案：【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，可得出函数的形式变为了y=cos（+），kz，由余弦函数的对称性此得出的表达式判断出的最小正值得出答案【解答】解：函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=cos（+）由于其图象关于y轴对称，+=k，kz，=2k，kz，由0，可得：当k=0时，的最小正值是故答案为：【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，解题的关键是熟练掌握、理解三角函数图象的变换规律，
7、由这些规律得到关于的方程，再根据所得出的方程判断出的最小正值，本题考查图象变换，题型新颖，题后注意总结此类题的做题规律，在近几年的高考中，此类题出现频率较高，应多加重视三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数是定义在(1,1)上的奇函数，且.（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断当时函数f(x)的单调性，并用定义证明；（3）解不等式参考答案：（1）；（2） 在上是增函数，证明详见解析；（3）.【分析】（1）根据函数是奇函数得，再由可得的值，从而得函数的解析式；（2）设，作差得，即可得解；（3）由函数是奇函数和（2）的结论，建立不等式组，解
8、之得解.【详解】（1）由 ，知：。又，（2） 在上是增函数，证明如下：设，则 又 ， ，从而 ，即 所以 在上是增函数.（3）由题意知：由 , 得，即为 由（2）知： 在上是增函数，所以 即为 ，解得：又，且 所以且，即.不等式解集为，故得解.【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法，求解不等式时注意考虑函数的定义域，属于中档题.19. 已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。参考答案：解析：（I）由已知条件： ， 得： 7分 （2） 10分因为：，所以：所
9、以，只有当： 时， ，或时，14分20. 若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列an的前n项和，则称an是“回归数列”.（1）前n项和为的数列an是否是“回归数列”?并请说明理由；通项公式为的数列bn是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设an是等差数列，首项，公差，若an是“回归数列”，求d的值；（3）是否对任意的等差数列an，总存在两个“回归数列” bn和cn，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.参考答案：（1）是；是；（2）1；（3）见解析.【分析】（1）利用公式和 ，求出数列的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；求出数列的前项和，按照回归数列的定义进行判断；（2）求出的前项
10、和，根据是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出的值；（3）等差数列的公差为，构造数列，可证明、是等差数列，再利用等差数列前项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.【详解】（1）当时，当时，当时，所以数列是“回归数列”；因为，所以前n项和，根据题意，因为一定是偶数，所以存在，使得，所以数列“回归数列”；（2）设是等差数列为，由题意可知：对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，即，取，得，解得，公差，所以，又；（3）设等差数列=，总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，证明如下：，数列前n项和，时，为正整数，当时，所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”，数列前n项和，存
11、在正整数，使得，所以是“回归数列”，所以结论成立.【点睛】本题考查了公式，等差数列的前项和、通项公式，考查了推理能力、数学运算能力.21. 定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，使得|f（x）|M成立，则称f（x） 是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数f（x）=4x+p?2x+1，g（x）=（）当p=1时，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（）若，函数g（x）在0，1上的上界是H（q），求H（q）的取值范围；（）若函数f（x）在0，+）上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围参考答案：【考点
12、】函数与方程的综合运用【分析】（）当a=1时，f（x）=1+（）x+（）x，可判断f（x）在（，0）上的单调性，由单调性可得求得f（x）在（，0）上的值域，由值域可判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数 （）g（x）=1，易判断g（x）在0，1上的单调性，由单调性可求得g（x）的值域，进而求得|g（x）|的值域，由上界定义可求得H（q）的范围；（）由题意知，|f（x）|3在0，+）上恒成立，即3f（x）3恒成立，设t=（）x，t（0，1，则转化为31+pt+t23恒成立，分离参数p后转化为求函数最值即可解决；【解答】解：（）当a=1时，f（x）=1+（）x+（）x，因为f（x）在（，0）上递减，所以f（x）f（0）=3，即f（x）在（，0）的值域为（3，+），故不存在常数M0，使|f（x）|M成立所以函数f（x）在（，0）上不是有界函数 （）g（x）=1，q0，x0，1，g（x）在0，1上递减，g（1）g（x）g（0），即，q（0，|，|g（x）|，H（q）|，即H（q）的取值范围为，+）（）由题意知，|f（x）|3在0，+）上恒成立，设t=，t（0，1，由3f（x）3，得31+pt+t23，（t+）pt在（0，1上恒成立，设h（t）=t，m（t）=t，则h（t）在（0，1上递增；m（t）在（0，1上递减，所以h（t
