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1、湖北省荆门市东宝区盐池中学2020-2021学年高一数学理期末试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 某商店卖出两套不同品牌的西服,售价均为元以成本计算,一套盈利,另一套亏损,此时商店( )A不亏不盈 B盈利元C亏损元 D盈利元参考答案:C设盈利的进价是元,则,;设亏损的进价是元,则有,则进价和是元,售价和是元,元,即亏损元,故选2. 已知函数f(x)=2sin2x+2sinxcosx+1()求f(x)的最小正周期及对称中心()若x,求f(x)的最大值和最小值参考答案:【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;H2:
2、正弦函数的图象【分析】(1)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(x+)的形式,即可求周期和对称中心(2)x,时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的取值最大和最小值【解答】解:(1)函数f(x)=2sin2x+2sinxcosx+1,化简可得:f(x)=cos2x1+sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=,由2x+=k(kZ)可得对称中心的横坐标为x=k对称中心(k,0),(kZ)(2)当x,时,2x+,当2x+=时,函数f(x)取得最小值为当2x+=时,函数f(x)取得最大值为21=23. 函数 的图
3、像为( )参考答案:B4. 方程组的解是A或 Bw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C 参考答案:D5. 下列函数既是奇函数,又在区间(0,+)上是增函数的是()Ay=x1By=x2Cy=lgxDy=x3参考答案:D【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可【解答】解:Ay=x1为奇函数,在(0,+)上是减函数,不满足条件By=x2是偶函数,当x0时,函数为增函数,不满足条件Cy=lgx定义域为(0,+),函数为非奇非偶函数,不满足条件Dy=x3是奇函数,在(,+)上是增函数,满足条件故选:D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的
4、判断,要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质6. 在等差数列an中,则( )A5 B6 C7 D8参考答案:B7. 已知集合,则等于A1,2 B-1,0,3 C0,3 D-1,0,1参考答案:B8. 设集合,集合,则( )A. B. C. D. 参考答案:B略9. 函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为()A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)参考答案:B【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数的解析式可得f(1)f(0)0,根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间【解答】解:由函数的解析式可得f(1)=1+=0,f(0)=0+1=10,f(1)f(0)0
5、,根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(1,0),故选:B【点评】本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基础题10. 已知=(4,8),=(,4),且,则的值是( )(A)2 (B)-8 (C)-2 (D)8 参考答案:B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上,据市场调研,该项目的年投资回报率为20%该投资公司计划长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),若市场预期不变,大约在 年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.477
6、1)参考答案:2020假设n年后总资产可以翻一番,依题意:1000(1+)n=2000,即1.2n=2,两边取对数得:n=3.8053,所以大约4年后,即在2020年的年底总资产可以翻一番12. 已知圆台的上、下底面半径分别是,且侧面面积等于两底面积之和,则圆台的母线长等于 .参考答案:略13. 函数f(x)=log(x22x3)的单调递减区间为参考答案:(3,+)【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】利用复合函数的单调性,只需求g(x)=x22x3在g(x)0的情况下的递增区间即可【解答】解:令g(x)=x22x3,则f(x)=为复合函数,由题意得,函数的单调递减区间为g(x)=x22x3
7、在g(x)0的情况下的递增区间,由x22x30得:x3或x1,又g(x)=x22x3的递增区间为:1,+),x3,即函数的单调递减区间为(3,+)故答案为:(3,+)14. 若函数满足:对任意实数,有且,当时,则时, 参考答案:由,可知.所以函数f(x)是周期为4的周期函数.时,.对任意实数,有,可知函数f(x)关于点(1,0)中心对称,所以,又.所以.综上可知,时,.故答案为:.15. 计算下列几个式子,结果为的序号是 tan25+tan35tan25tan35, ,2(sin35cos25+sin55cos65),参考答案:【考点】两角和与差的正切函数【分析】先令tan60=tan(25+
8、35)利用正切的两角和公式化简整理求得tan25+tan35=(1tan25tan35),整理后求得tan25+tan35+tan25tan35=;中利用正切的两角和公式求得原式等于tan60,结果为;中利用诱导公式把sin55转化才cos35,cos65转化为sin25,进而利用正弦的两角和公式整理求得结果为,中利用正切的二倍角公式求得原式等于,推断出不符合题意【解答】解:tan60=tan(25+35)=tan25+tan35=(1tan25tan35)tan25+tan35tan25tan35=,符合tan(45+15)=tan60=,符合2(sin35cos25+sin55cos65)
9、=2(sin35cos25+cos35sin25)=2sin60=,符合=tan=,不符合故答案为:16. 已知函数是定义域为的偶函数,当时,(符号表示不超过的最大整数),若方程有6个不同的实数解,则的取值范围是 参考答案:17. 从2012年参加奥运知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示观察图形,估计这次奥运知识竞赛的及格率(大于或等于60分为及格)为_.参考答案:略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知角的终边过点.(1)求的值;(2)求式子的值参考答案:略19. 已知数列a
10、n的前n项和为Sn,且a11,an1Sn(n1,2,3,)(1)求数列an的通项公式;(2)当bnlog(3an1)时,求证:数列的前n项和Tn.参考答案:(1)解:由已知(n2),得an1an(n2)数列an是以a2为首项,以为公比的等比数列又a2S1a1,ana2n2(n2) an(2)证明:bnlog(3an1)logn. .Tn1.20. 已知圆C的圆心在直线上,半径为,且圆C经过点和点求圆C的方程过点(3,0)的直线l截图所得弦长为2,求直线l的方程参考答案:解:由题意可知,设圆心为则圆C为:,圆C过点和点,则即圆C的方程为设直线l的方程为即,过点(3,0)的直线l截图所得弦长为2,
11、则当直线的斜率不存在时,直线为,此时弦长为2符合题意,即直线l的方程为或21. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为,M点的坐标为(3,3). (1)求过点M且与圆C相切的直线方程;(2)过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A,B,且圆C交x轴正半轴于点P,求证:直线PA与PB的斜率之和为定值.参考答案:(1)或(2)详见解析【分析】(1)当直线的斜率不存在时,直线满足题意,当直线的斜率存在时,设切线方程为,圆心到直线的距离等于半径,列式子求解即可求出,即可得到切线方程;(2)设直线:,代入圆的方程,可得到关于的一元二次方程,设,且,直线与的斜率之和为,代入根与系数关系整理可得到所求定
12、值。【详解】(1)当直线的斜率不存在时,显然直线与圆相切当直线的斜率存在时,设切线方程为,圆心到直线的距离等于半径,即,解得,切线方程为:,综上,过点且与圆相切的直线的方程是或(2)圆:与轴正半轴的交点为,依题意可得直线的斜率存在且不为0,设直线:,代入圆:,整理得:.设,且,直线与的斜率之和为 为定值.【点睛】本题考查了圆的切线,考查了直线方程,考查了点到直线的距离公式,考查了斜率,考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力,属于难题。22. (15分)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增下表是今年前四个月的统计情况:月份1月份2月份3月
13、份4月份收购价格(元/斤)6765养殖成本(元/斤)344.65现打算从以下两个函数模型:y=Asin(x+)+B,(A0,0,),y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型,分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系(1)请你选择适当的函数模型,分别求出这两个函数解析式;(2)按照你选定的函数模型,帮助该部门分析一下,今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损?参考答案:考点:在实际问题中建立三角函数模型;正弦函数的图象 专题:综合题;三角函数的图像与性质分析:(1)选择函数模型y=Asin(x+)+B,(A0,0,)拟合收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由题:A=1,B=6,T=4,求出,利用图象过点(1,6),求出,即可求出函数解析式;选择函数模型y=log2(x+a)+b拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系,由题:y=log2(x+a)+b图象过点