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1、第61讲求轨迹方程的基本方法1. 已知点A( 2,0)、B(3,0),动点P(x, y)满足PA PB = x，则点P的轨迹是(D)A ?圆B ?椭圆C.双曲线D .抛物线S3 Pa = (- 2 x, y), PB= (3 x, y),因为 RA PB = x2,所以(一 2 - x) (3 x) + y2 =x2, BP P y2= x+ 6.2. 已知Fi( 1,0)、F2(1,0),且IF1F2I是|PFi|与|PF2的等差中项,则动点 P的轨迹是(A)A ?椭圆B ?双曲线C.抛物线D ?线段由于|PFi|+ |PF2|二 2IF1F2U 42,所以P点轨迹为椭圆3. 曲线f(x,
2、y)= 0关于直线x y+ 2 = 0对称曲线的方程是(D)A . f(x + 2, y) = 0 B. f(x 2, y)= 0C. f(y+ 2, x- 2) = 0 D. f(y 2, x+ 2) = 0匿 3 设(X0, y )是 f(x, y)=0上任一点，它关于x- y+ 2= 0的对称点为(x, y),贝Ux+ Xo2n1y 一x x XoXo= y 2,解得yo= x+ 2.又 f(Xo, yo)= 0,所以 f(y 2 22, x+ 2) = 0.4. 设A2是椭圆X + y = 1长轴的两个端点94直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为-2 2-2 2+人=1B9A 4+=
3、12 294-D. 2 2 =1x y .9 4C_ _ / = 1倔设交点为PP2是垂直于A1A2的弦的端点，则(C)P(x, y), A1(一3,0), A2(3,0), P1(Xo, y ), P2(x。，一 y ).y - yo y因为A1、P1, P三点共线，所以-二一 J ,x Xo x+ 3y+ y。y因为A2、P2, P三点共线，所以一，xXo x39322解得Xo= 一，yo=，代入曾+晋=1,XX942 2在圆X2 + y2= 9中，过已(x2+ (y 1)2= 5 M化简得xA4=1.5.知点P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为3设弦的中点为 M ,贝U OM JPM.所以
4、M在以OP为直径的圆上，15故所求轨迹方程为(X p2 + (y1)2 = 4.6. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆在x轴上截得的线段长为2 2,在y轴上截得的线段长为2 3,则圆心P的轨迹方程为y2-x2= 1 .场9 设 P(x, y),圆 P 的半径为 r.由题意 y2 + 2 = r2, x2 + 3= r2,从而 y2 + 2 = x2 + 3,所以P点的轨迹方程为y2- x2= 1.7. 设点F(2,0),动点P到y轴的距离为d,求满足条件|PF| d = 2的点P的轨迹方程.匿3(方法一)设P的坐标为(x, y),由|PF尸2+ d,得 x 2 2+ y2= 2+ |x|,即
5、(x 2)2+ y2= (2 + 凶)2?斤以 y2= 4|x| + 4x.22当x 0时，y = 8x;当x 0)和y= 0(x0).(方法二)由题意|PF = 2 + d,当P在y轴右侧时，可转化为|PF|= x+ 2,即点P到定点F的距离等于到定直线I: x=2的距离，所以点P在抛物线y2= 8x上.当P点在y轴左侧时，|PF|= 2 x,即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x= 2的距离，从而有y= 0(x 0)和 y= 0(x0).舀级？&点P是以Fi、F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作/ F!PF2的外角平分线的垂线,垂足为点M ,则点M的轨迹是(D)A .抛物线B .椭圆C
6、.双曲线D .圆匿3连接OM ,延长F2M交FiP的延长线于点 Q,则 |PQ|=|PF2|.所以 |QF1|= IPF1I+ |PQ|= |PFi1+ |PF2|= 2a.因为OM为AF1 F2Q的中位线,1所以 |OM|= 2|QF1= a.因此点M的轨迹是圆.故选D.29.直线I与椭圆乡+ y2= 1交于P、Q两点，已知I的斜率为1,则弦PQ中点的轨迹方程为X+ 4y= 0(一誓v XV55设 M(x, y)为 PQ 中点，P(Xi, y1), Q(x, y2),一，得1 2x4矿1.所以 x+ 4y= 0.X则M(x, 4),因为2所以X+(一4)21,所以所求轨迹方程为M在椭圆内，4
7、*54 : 5解得-亏V X V帝.x+ 4y= 0(一斗 5V XV Q5).552X1 I 24 + yi = 1,则2X22拯 + y2=1.1y1 y2 kpQ4X1+ X2X1 X2y1 + y210. (2016新课标卷川)已知抛物线C: y2 = 2X的焦点为F,平行于X轴的两条直线h, 12分别交C于A, B两点，交C的准线于P, Q两点.若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 AR/ FQ ;若 PQF的面积是公ABF的面积 的两倍，求 AB中点的轨迹方程.1孑匕2薛 3 由题意知 F(2, 0).设 11: y= a, I2： y= b,则 ab八0,且 A(-, a),
8、B(, b), P(一2, a), Q(-2, b).1 a + b(2,2记过A, B两点的直线为I,贝U I 的方程为 2x- (a + b)y+ ab= 0.证明：由于F在线段AB上，故1 + ab= 0.记AR的斜率为ki, FQ的斜率为k2,则a b a b 1abk1=w=l-I =a=b - k2.所以AR /FQ.设I与X轴的交点为D(X1,0), 1 1 1 贝 U SF=尹一1a|FD产b- a|x1一?|2|a- b| szpqf = 2 .1 1 |a一b| 由题设可得2X AIb a|x1-厂，所以X1= 0(舍去)或X1= 1.设满足条件的AB的中点为E(x, y) ?当AB与X轴不垂直时，2 = y )由 kAB= kDE 可得禹 X-1(XM 2 -a+ b2而=y,所以 y = x 1(xm 1).当AB与X轴垂直时，E与D(1,0)重合.所以所求轨迹方程为y2= x1.
