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1、2013 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷（4 月 21 日上午8:00 11:00）第一试填空题（每题8分，共 80 分）1.设 A、 B 是两个非空的有限集，全集 U=A B， 且 U 中含有 m 个元素，若 （CUA） （CUB）中含有 n 个元素，则AB 中所含元素的个数为2.已 知 ABC的 三 个 内 角A 、 B 、 C所 对 的 边 分 别 为a 、 b 、 c ， 且 满 足2sinsincos2aABBAa.则ab的值是. 3.在直角坐标系xOy 中，已知三点A(a,1) 、B(2,b) 、C(3,4)，若向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同，则3a4b 的值是. 4
2、.已知正三棱锥PABC 的侧棱与地面所成的角为45，则相邻侧面所成角的余弦值为5.已知三个互不相等的整数x、y、z 之和介于40 与 44 之间，若 x、y、z 依次构成公差为d 的的等差数列，x+y，y+z，z+x 依次构成公比为q 的等比数列，则dq 的值是6.设点 P、Q 分别在直线3xy+5=0 和 3xy13=0 上运动，线段PQ 的中点为M(x0y0),且 x0+y04.则00yx的取值范围是. 7.在一个圆上随机取三点，则以这三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率等于= 8.设 M=14+24+34+20134，则 M 的各位数字为. 9.若对任意1,12x， 都有2012212n
3、nxaa xa xa xxx， 则34aa的值是10. 若011,2,3,4,5ixi，M=|x1x2|3+|x2 x3|3+|x3x4|3+|x4x5|3+|x5x1|3的最大值是第二试一、 （本题满分20 分）已知函数22213sincos3sin,424fxxxxxR. (1) 求函数fx的最小正周期；(2) 求函数fx的单调区间 . 二、 （本题满分20 分）设不经过坐标原点O 的直线l与圆 x2+y2=1 交于不同的两点P、Q，若直线 PQ 的斜率是直线OP 和 OQ 斜率的等比中项，求POQ 面积 S的取值范围 . 三、 （本题满分20 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半
4、圆弧的中点，P 是 AB 延长线上的一点，PD 与半圆 O 相切于点 D，APD 的评分线分别交AC、BC 于点 E、F.求证：线段AE、BF、EF 构成一个直角三角形. 四、 （本题满分30 分）已知曲线11:2xxCfxee， 曲线21:2xxCg xee， 直线 x=a 与曲线1C、2C分别交于点A、B，曲线1C在点 A 处的切线为1l，曲线2C在点 B 处的切线为2l. （1）证明：直线1l与2l必相交，且交点到直线AB 的距离为定值；（2）设 a0，直线1l与2l的交点为P.若 PAB 为钝角三角形，求a 的取值范围 . 五、 （本题满分30 分）设012,nP P PPnN是平面上的1n个点，且任意两点间的距离都小于1.证明4101721nkkP P.
