《人教A版高二数学选修2-1第三章第二节立体几何中的向量方法教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高二数学选修2-1第三章第二节立体几何中的向量方法教案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课题： 3.2.5立体几何中的向量方法（五）垂直问题 总第 个教案课型： 新授课 上课时间： 年 月 日星期_教学目标1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题2.过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程3.情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣教学重点用向量方法判断有关直线和平面垂直关
2、系问题教学难点空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程：批 注活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？ 问题2：上一节课中我们讨论了几种平行关系？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些垂直的应用 点题：今天我们学习“用空间向量方法求垂直问题” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题3：回忆立体几何中有那些垂直关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？
3、 lmab0a1b1a2b2a3b30.lauaku(a1，b1，c1)k(a3，b3，c3)(kR)uvuv0a3a4b3b4c3c40.图3210例1：已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1. 求证：AB1MN.解答：法一设a，b，c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，acbc0，ac，(ab)，bc，abc，(ac)(abc)cos 600000.，AB1MN.法二设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A(，0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，N(0，)，B
4、1(，0,1)，M为BC中点，M(，0)(，)，(1,0,1)，00.，AB1MN.在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.【证明】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E.例2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.【解答】法一设a，c，b，则()()(abc)ab，(abc)(
5、ab)(b2a2cacb)(|b|2|a|200)0，即EFAB1，同理，EFB1C.又AB1B1CB1，EF平面B1AC.法二设正方体的棱长为2，建系如图则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)，(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)而(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120，(1，1,1)(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC.又AB1ACA，EF平面B1AC.图3211如图3211，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA
6、12，点P为DD1的中点，求证：直线PB1平面PAC.【证明】依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即PB1CP，PB1CA，又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC.故直线PB1平面PAC.图3212例3：如图3212，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.【解答】由题意得AB，BC，B1B
7、两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，(2,0，)设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x，y，z)，则令x1，得y1，n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x，y，z)，则令z4，得x1，y1.n2(1，1,4)n1n2111(1)040，n1n2.平面AEC1平面AA1C1C.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD.【证明】以D
8、A，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E(0,1，)，(1,1,1)，(0,1，)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，n1(1,1，2)同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1,0)，由n1n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD.活动三：合作学习、探究新知（18分钟）利用平面的法向量求解空间中的探索性问题图3213例4：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P平面C1DE.【思路点拨】建立直角坐标系，设出点
9、P的坐标，将平面垂直当作已知条件利用它们的法向量垂直可得P点坐标【规范解答】如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(，1,0)，C1(0,1,1)，2分(0,1,0)，(1,1，a1)，(，1,0)，(0,1,1).4分设平面A1B1P的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则x1(a1)z1，y10.令z11，得x1a1，n1(a1,0,1).8分设平面C1DE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x22，z21，n2(2,1，1)平面A1B1P平面
10、C1DE，n1n20，即2(a1)10，得a.当P为CC1的中点时，平面A1B1P平面C1DE.补充练习1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，试确定E点的位置【解】(1)证明分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设E(0，a，e)(a，a，ea)，又(a，a,0)，a2a20.，即A1EBD.(2)E为CC1的中点，证明如下：设BD的中点为O，连结A1O，OE.则
11、O(，0)，(，e)，(，a)A1BA1D，O为BD中点，A1OBD.又平面A1BD平面EBD，A1O平面EBD.A1OOE.又(a，a,0)，则0，0，即，e.当E为CC1的中点时，能使平面A1BD平面EBD.例5：书本P109页例4练习：书本P111页的练习1、2、3用空间向量求各种垂直关系的步骤：1用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理2应用向量证明垂直问题的基本步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；(2)通过向量运算研究垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1在空间中，垂直有几种情况？2如何用空间向量求各种垂直关系？活动五：作业布置、提高巩固1 书面作业：P112 A组：2、3、49板书设计： 用向量方法研究立体几何一垂直1、空间中垂直种类 例1： 例2： 2、用向量方法解决空间垂直的步骤？教学后记：
