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1、(二二)导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分【主要内容】【主要内容】一、微分的概念一、微分的概念设函数设函数在在点可导，点可导，分，记作分，记作即即为函数为函数在点在点 处的微处的微说明：说明：微分，记作微分，记作1、对于函数在某一点可导点、对于函数在某一点可导点的的对于函数在某一点可导点对于函数在某一点可导点的微分，记作的微分，记作2、导数又称为微商、导数又称为微商导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分二、微分公式二、微分公式导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分三、微分的运算法则三、微分的运算法则设设都
2、是关于都是关于的可导函数，则有的可导函数，则有( 为常数为常数)导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分例例1求下列函数的微分求下列函数的微分 解：解：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分练习练习求下列函数的微分求下列函数的微分 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分2、1、导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性设函数设函数不论不论 是自变量，是自变量，或自变量的可导函数，它的微分形或自变量的可导函数，它的微分形式同样都是式同样都是这就叫做微分形式的不变性。这就叫做微分形式的不变性。解法一：解法一： 利用利用求得求得设设 求求例例2导数与微分导数
3、与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分解法二：解法二： 利用微分形式的不变性利用微分形式的不变性例例3设设 求求解：解：练习练习求下列函数的微分求下列函数的微分 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分1、2、求隐函数求隐函数 的微分的微分例例4解：解：对方程两边分别求微分，得对方程两边分别求微分，得移项整理求得移项整理求得导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分练习练习求下列隐函数的微分和导数求下列隐函数的微分和导数 解：解：1、对方程两边分别求微分、对方程两边分别求微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分2、对方程两边分别求微分、对方程两边分别求微分导数与微
4、分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分五、求函数值的近似值五、求函数值的近似值1、函数近似值的公式：、函数近似值的公式：即即 此公式可用来计算函数此公式可用来计算函数 在某在某点点 附近的函数值的近似值附近的函数值的近似值.2、求函数近似值的步骤：、求函数近似值的步骤：(1)、设函数、设函数且求且求(3)、利用公式、利用公式(2)、根据、根据 求得求得注：注：用公式用公式求函数求函数值时，选定的值时，选定的应使应使求求 的近的近似值似值 例例解：解：设设则则取取则则得：得：和和易于求出，易于求出， 且且要相对较小。要相对
5、较小。练习练习 求以下各题的近似值求以下各题的近似值 1、2、解：解：设设则则取取则则则则设设则则取取则则则则导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分【例题分析】【例题分析】一、选择题一、选择题设设 函数函数 在点在点 处可导，处可导，且下列且下列例例5各极限都存在，其中一定成立的是各极限都存在，其中一定成立的是 导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分解：解：不一定等于不一定等于或或 不存在，不存在，不正确不正确导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分对对B， 不正确不正确对对C， 不正确不正确对对D， 正确正确导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分设设 函数函数 在点在点 处不连续，处不
6、连续，则则例例6存在存在存在存在不存在不存在不存在不存在解：解：由于可导函数必连续，不连续由于可导函数必连续，不连续则不可导，故选则不可导，故选C导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分二、填空题二、填空题设设例例7则则解：解：设设例例8则则解：解：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分解：解：设函数设函数 在在 处可导，处可导，且且例例9则则导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分设设例例10则则解：解：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分例例11设设则则解：解：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分例例12方程是方程是，法线方程是，法线方程是曲线曲线 在点在点 处的处的切线切线解：
7、解：设设则则又当又当 时，时，故切线方程为故切线方程为即即导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分故法线方程为故法线方程为即即例例13设设则则解：解：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分三、计算题三、计算题例例14讨论函数讨论函数 在点在点 处的处的连续性和可导性连续性和可导性解：解：可只考虑可只考虑 在在 内内的情形的情形故故导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分在点在点 处处连续连续即即又又导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分即即在点在点 处不可导处不可导故故例例15求下列导数求下列导数确定的函数确定的函数 的的导数导数导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分解：解：1、先将函数化简为、先将函数化简为另解：另解：先将函数化简为先将函数化简为导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分3、先将函数化简为、先将函数化简为导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分5、两边对、两边对 求导求导移项得：移项得：
