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1、河南省郑州市第四高级中学高三数学文联考试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为()A.(,1) B. (,1) C.(0,1) D.(1,+) 参考答案:D由x10,可得x1.2. ,则(A); (B); (C); (D)参考答案:A略3. 如图,在正方体中,为的中点,则 与平面所成角的正弦值等于( )A B C D参考答案:A略4. 命题“对任意,都有”的否定为 ( ) A对任意,都有B不存在,都有 C存在,使得 D存在,使得 参考答案:D略5. 如图,正方形的边长为6,点,分别在边,上,且,.若对
2、于常数,在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范围是 (A) (B) (C) (D)参考答案:C考点:平面向量基本定理因为P在AB上,;P在CD上,;P在AE或BF上,;P在DE或CF上,所以,综上可知当时,有且只有6个不同的点P使得成立。故答案为:C6. 已知实数满足不等式组,则函数的最大值为A2B4C5D6参考答案:D作出可行域如下图,当直线过点C时,最大,由得,所以的最大值为 7. 下列五个命题中正确命题的个数是( )(1)对于命题,则,均有;(2)是直线与直线互相垂直的充要条件;(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程
3、为1.23x0.08(4)若实数,则满足的概率为.(5) 曲线与所围成图形的面积是 A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:C8. 已知函数f(x)=ln(1+x)ln(1x),给出以下四个命题:2 ?x(1,1),有f(x)=f(x);?x1,x2(1,1)且x1x2,有 ;?x1,x2(0,1),有 ;?x(1,1),|f(x)|2|x|其中所有真命题的序号是()ABCD参考答案:D【考点】2K:命题的真假判断与应用【分析】利用函数奇偶性的定义可判断出?x(1,1),有f(x)=f(x),可判断正确;x(1,1),由,可知f(x)在区间(1,1)上单调递增,可判断正确;利用f(x)=在(0
4、,1)单调递增可判断正确;构造函数g(x)=f(x)2x,则当x(0,1)时,g(x)=f(x)20,?g(x)在(0,1)单调递增,再利用g(x)=f(x)2x为奇函数,可判断正确【解答】解:对于,f(x)=ln(1+x)ln(1x),且其定义域为(1,1),f(x)=ln(1x)ln(1+x)=f(x),即?x(1,1),有f(x)=f(x),故是真命题;对于,x(1,1),由 ,可知f(x)在区间(1,1)上单调递增,即?x1,x2(1,1)且x1x2,有 ,故是真命题;对于,f(x)=在(0,1)单调递增,?x1,x2(0,1),有 ,故是真命题;对于,设g(x)=f(x)2x,则当x
5、(0,1)时,g(x)=f(x)20,所以g(x)在(0,1)单调递增,所以当x(0,1)时,g(x)g(0),即f(x)2x;由奇函数性质可知,?x(1,1),|f(x)|2|x|,故是真命题故选:D9. 已知函数则的值为 A.12 B.20 C.56 D.56参考答案:A略10. 已知双曲线C的一条渐近线的方程是:,且该双曲线C经过点,则双曲线C的方程是( )A BC D参考答案:D由题可设双曲线的方程为:,将点代入,可得,整理即可得双曲线的方程为.故选D.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出以下四个命题:已知命题;命题.则命题是真命题;圆恰有2条公切线;在某项测
6、量中,测量结果服从正态分布.若内取值的概率为0.4,则在内取值的概率为0.8;某企业有职工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本,则一般职员抽出20人.其中正确命题的序号为_(把你认为正确的命题序号都填上)参考答案:12. 设向量a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),其中0,若|2ab|a2b|,则_参考答案:略13. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2_参考答案:4试题分析:利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组,解这个方程
7、组需要用一些技巧,因为不要直接求出x、y,只要求出|x-y|即可,故可设x=10+t,y=10-t,求解即可。解:由题意可得: x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,设x=10+t,y=10-t,则2t2=8,解得t=2,|x-y|=2|t|=4,故答案为4.考点:平均值点评:本题考查统计的基本知识,样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法,比较简单14. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是 参考答案:15. 已知关于x的不等式对于任意恒成立,则实数a的取值范围为_参考答案:【分析】先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立,设,求出在
8、内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解:由题可知,不等式对于任意恒成立,即,又因为,对任意恒成立,设,其中,由不等式,可得:,则,当时等号成立,又因为在内有解,则,即:,所以实数的取值范围:.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,利用分离参数法和构造函数,通过求新函数的最值求出参数范围,考查转化思想和计算能力.16. 已知锐角A,B满足tan(AB)2tanA,则tanB的最大值是 参考答案:17. 如果实数x,y满足:,则目标函数z=4x+y的最大值为参考答案:【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域,再将直线l:z=3x4y进行平移,得当l经过点A时,z达到最大值
9、,联解方程组得A点坐标,代入目标函数,即可求得z=3x4y的最大值【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如右图阴影部分三角形将直线l:z=4x+y进行平移,可知它越向上、向右移,z的值越大当l经过点A时,z达到最大值由,解得x=,y=A的坐标为(,),z最大值为4+=故答案为:三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 为了缓解高考压力,某中学高三年级成立了文娱队,每位队员唱歌、跳舞至少会一项,其中会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且(1)求文娱队的人数;(2)求的分布列并计算参考答案:解:设既会唱歌
10、又会跳舞的有人,则文娱队中共有人,那么只会一项的人数是人. (1), ,即,(3分). 故文娱队共有5人.(5分) (2),(8分) 的分布列为012P (10分) (12分)19. (本小题满分12分)如右图,将一副三角板拼接,使它们有公共边,且使两个三角板所在平面互相垂直,若,()求证:平面平面()求二面角的平面角的余弦值()求到平面的距离参考答案:()由于平面平面,且,那么平面,而平面,则,又,,所以平面,又因为平面,所以平面平面;()取中点,作于,连,则平面,为二面角的平面角。中,则,中,二面角的正切值为2;()作于,则平面中, 即到平面的距离为。20. 已知曲线C:,直线l:(1)写
11、出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)已知点P为曲线C上的一个动点,求点P到直线l的距离的最大值及最小值参考答案:【考点】直线的参数方程【分析】(1)由题意直接写出曲线C的参数方程,消去参数t可得直线l的普通方程;(2)设点P的坐标为(2cos,3sin),由点到直线的距离公式表示出点P到直线l的距离d,由辅助角公式化简后,由正弦函数的最值求出点P到直线l的距离的最大值及最小值【解答】解:(1)曲线C:,曲线C的参数方程为:(为参数),直线l:消去t得,直线l的普通方程为:2x+y6=0;(2)设点P的坐标为(2cos,3sin),则点P到直线l的距离设为d,则(其中)1sin(+)1,
12、即点P到直线l的距离的最大值及最小值分别为:、21. 已知,是椭圆:的左右焦点,是椭圆上的两点,且都在轴上方,设 的交点为()求证: 为定值;()求动点的轨迹方程参考答案:解:(I)证1:设直线 所在直线的方程为 ,与椭圆方程联立 化简可得因为点在轴上方,所以所以同理可得:4分所以,所以=7分证2:如图2所示,延长 交椭圆于,由椭圆的对称性可知:,所以 只需证明为定值,设直线 所在直线的方程为 ,与椭圆方程联立 化简可得:所以7分(II)解法1:设直线,所在直线的方程为 ,所以点的坐标为10分 又因为 ,所以所以 ,所以 所以 15分解法2:如图3所示,设,则 ,所以 又因为,所以所以 10分同理可得,所以 12分由(I)可知 14分所以所以动点的轨迹方程为15分22. 已知函