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1、实用文档文案大全直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质1、 直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l ，直线l叫做平面 的垂线，平面叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作./
2、 /abba（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,/ /abab.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。2、 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。3、 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l，那么两个面分别为、的二面角记作l.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做
3、二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：000180. 二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 简述为 “ 线面垂直，则面面垂直 ” ， 记作ll. 实用文档文案大全3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作lmmml. 【经典例题】【例 1】 （2012 浙江文） 设l是直线 ,a, 是两个不同的平面（）A若la,l, 则 aB若la,l, 则 a C若 a,l a,则lD若 a , la,则l【答案】 B 【解析】
4、利用排除法可得选项B 是正确的 ,la,l, 则 a.如选项A:la,l时, a或 a ;选项C:若a,la,l 或l;选项 D:若若 a , la,l或l . 【例 2】 （2012 四川文） 下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】 C 【解析】 若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交 ,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一
5、个平面的距离相等,则这两个平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 ,也可以垂直 ;故 D 错;故选项 C 正确 .【例 3】 （2012 山东） 已知直线m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面内到两条直线m、n 距离相等的点的集合可能是：一条直线；一个平面；一个点；空集其中正确的是（）ABC D【答案】 C 【解析】 如图 1，当直线 m 或直线 n 在平面 内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线 m、n 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图3，直线 m、n 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C. 【例 4
6、】 （2012 四川理） 如图， 在正方体1111ABCDA B C D中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1A M与DN所成的角的大小是_. 【答案】 90oNMB1A1C1D1BDCA实用文档文案大全【解析】 方法一 :连接 D1M,易得 DNA1D1 ,DND1M, 所以 ,DN 平面 A1MD1, 又 A1M平面 A1MD1,所以 ,DN A1D1,故夹角为90o方法二 :以 D 为原点 ,分别以DA, DC, DD1为 x, y, z 轴 ,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故,），（），
7、（2 , 121 , 2,01MADN所以 ,cos|MA|DN|111MADNMADN，= 0,故 DN D1M,所以夹角为90o【例 5】（2012 大纲理）三棱柱111ABCA B C中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAACAA,则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为_. 【答案】66【解析】 设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,ABABAA BCACAAAB, 则22221111|()222cos603ABABAAABAB AAAA2222211111|()2222BCACAAABACAAABAC AAAC ABAAAB而1111() ()ABBCABAAACAAAB1111
8、111111112222AB ACAB AAAB ABAAACAAAAAAAB11111116cos,6|23ABBCAB BCABBC【例 6】 （2011 福建） 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中， AB2，点 E为 AD 的中点，点F 在 CD 上，若 EF平面 AB1C，则线段EF 的长度等于 _【答案】2 【解析】 EF面 AB1C， EFAC. 又 E 是 AD 的中点， F 是 DC 的中点实用文档文案大全EF12AC2. 【例 7】 （2012 年山东文） 如图 ,几何体 EABCD 是四棱锥 ,ABD为正三角形 ,CBCD ECBD. （1）求证 :BEDE; （2）若
9、120BCD,M 为线段 AE 的中点 , 求证 :DM平面 BEC . 【解析】（1）设BD中点为 O,连接 OC,OE,则由 BCCD 知 COBD , 又已知 CEBD ,所以BD平面 OCE. 所以 BDOE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以BEDE. （2）取 AB 中点 N,连接,MN DN,M 是 AE 的中点 , MN BE, ABD是等边三角形, DNAB .由 BCD=120 知,CBD=30 , 所以 ABC=60 +30 =90 ,即 BCAB,所以 NDBC, 所以平面MND平面 BEC,又 DM 平面 MND ,故 DM 平面 BEC. 另证 :延长BCAD
10、,相交于点F,连接 EF.因为 CB=CD,090ABC. 因为ABD为正三角形 ,所以0090,60ABCBAD,则030AFB, 所以AFAB21,又ADAB, 所以 D 是线段 AF 的中点 ,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知EFDM /, 而DM平面 BEC, EF平面 BEC,故 DM 平面 BEC. 【例 8】 （2011 天津） 如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形ADC 45 ，ADAC1，O 为 AC的中点， PO平面 ABCD，PO2，M 为 PD 的中点（1）证明： PB平面 ACM ；（2）证明： AD平面 PAC；（3）求直线 A
11、M 与平面 ABCD 所成角的正切值【解析】（1）证明：连接BD ，MO，在平行四边形ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以O 为 BD 的中点又M为 PD 的中点，所以PBMO.因为 PB? 平面 ACM，MO? 平面 ACM，所以 PB平面 ACM. （2）证明：因为ADC45 ，且 ADAC1，所以 DAC 90 ，即 ADAC，又 PO平面 ABCD，AD? 平面ABCD，所以 POAD.而 AC POO，所以 AD平面 P AC. （3）取 DO 中点 N，连接 MN，AN.因为 M 为 PD 的中点，所以MNPO，且 MN12PO1.由 PO平面 ABCD ，实用文档文案大
12、全得 MN平面 ABCD ，所以 MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角，在RtDAO 中， AD1，AO12，所以 DO52，从而 AN12DO54.在 RtANM 中，tanMAN MNAN154455，即直线AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为455. 【例 9】 （2012 湖南文） 如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA平面 ABCD, 底面 ABCD 是等腰梯形 ,AD BC,AC BD. （1）证明 :BDPC; （2）若 AD=4,BC=2, 直线 PD 与平面 PAC 所成的角为30 ,求四棱锥P-ABCD 的体积 . PEADCB【解析】（1）因为,.PAABC
13、D BDABCDPABD平面平面所以又,ACBD PA AC是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD平面 PAC, 而PC平面 PAC,所以BDPC. （2）设 AC 和 BD 相交于点O,连接 PO,由()知,BD平面 PAC, 所以DPO是直线 PD 和平面 PAC 所成的角 ,从而DPO30. 由 BD平面 PAC,PO平面 PAC,知BDPO. 在RtPOD中,由DPO30,得 PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形 ,ACBD,所以,AODBOC均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD 面积1(42)39.2S在等腰三
14、角形AOD 中,2,2 2,2ODAD所以2224 2,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA. 实用文档文案大全【例 10】 （2012 新课标理） 如图 ,直三棱柱111ABCA B C中,112ACBCAA,D是棱1AA的中点 ,BDDC1（1）证明 :BCDC1（2）求二面角11CBDA的大小 . 【解析】（1）在Rt DAC中,ADAC得:45ADC同理 :1114590A DCCDC得:111,DCDC DCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBC CCBCBC面11ACC ABCAC取11A B的中点O,过点O作OHBD于点H,连接11,
15、C O C H1111111ACB CC OA B,面111A B C面1A BD1C O面1A BD1OHBDC HBD得 :点H与点D重合且1C DO是二面角11CBDA的平面角设ACa,则122aC O,1112230C DaCOC DO既二面角11CBDA的大小为30【课堂练习】1 （2012 浙江理） 已知矩形ABCD,AB=1,BC=2 .将ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（）A存在某个位置,使得直线AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置,使得直线AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置,使得直线AD 与直线 BC 垂直D对任意位置 ,三直线 “ AC 与
16、 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC” 均不垂直2 （2012 四川理） 下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行实用文档文案大全C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3 （2011 重庆） 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点() A只有 1 个B恰有 3 个C恰有 4 个D有无穷多个4 （2012 上海） 已知空间三条直线l，m，n 若 l 与 m 异面 ,且 l 与 n 异面 ,则（）Am 与 n 异面 . Bm 与 n 相交 . Cm 与 n 平行 . Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能. 5 （ 2011 烟台）已知 m，n 是两条不同的直线， ，为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m ，n ，mn，则 ；若 m ， n ，mn，则 ；若 m ，n ， mn，则 ；若m ， n ， ，则 mn. 其中正确命题的个数为() A1 B 2 C3 D4 6 （2011 潍坊） 已知 m、n
