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1、李毓秋李毓秋E-mail：第六讲概率及其二项分布一、概率的定义后验概率（或统计概率或统计概率） 随机事件的频率随机事件的频率当当n n无限增大时，随机事件无限增大时，随机事件A A的频率会稳定在的频率会稳定在一个常数一个常数P P，这个常数就是随机事件，这个常数就是随机事件A A的概率。的概率。（61） 先验概率（古典概率古典概率）古典概率模型要求满足两个条件：古典概率模型要求满足两个条件： 试验的所有可能结果是有限的；试验的所有可能结果是有限的； 每一种可能结果出现的可能性相等。每一种可能结果出现的可能性相等。（62） 二概率的公理系统二概率的公理系统1 1任何随机事件任何随机事件任何随机事
2、件任何随机事件的概率都是在的概率都是在0 0与与1 1之间的之间的正数，即正数，即 0 P 0 P（A A）112 2不可能事件不可能事件不可能事件不可能事件的概率等于零，即的概率等于零，即 P P（A A）= 0 = 0 3 3必然事件必然事件必然事件必然事件的概率等于的概率等于1 1，即，即 P P（A A）= 1= 1 三概率的加法定理和乘法定理三概率的加法定理和乘法定理概率的加法定理若事件发生，则事件就一定不发生，若事件发生，则事件就一定不发生，这样的两个事件为互不相容事件。这样的两个事件为互不相容事件。两两互不相容事件互不相容事件互不相容事件互不相容事件和的概率，等于这两个和的概率，
3、等于这两个事件概率之和，即事件概率之和，即（63） （64） 概率的乘法定理若事件发生不影响事件是否发生，这若事件发生不影响事件是否发生，这样的两个事件为互相独立事件。样的两个事件为互相独立事件。两个两个互相独立事件互相独立事件互相独立事件互相独立事件积的概率，等于这两个积的概率，等于这两个事件概率的乘积，即事件概率的乘积，即 （95） （96） 例例1 1：某一学生从个试题中任意抽取：某一学生从个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率一题，进行口试。如果抽到每一题的概率为为1 15 5，则抽到试题或试题的概率是，则抽到试题或试题的概率是多少？多少？ 如果前一个学生把抽过的试题还回
4、如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则个学生都抽到后，后一个学生再抽，则个学生都抽到试题试题1 1的概率是多少？的概率是多少？ 计算抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和，即的概率和抽到第二题的概率之和，即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即例例2 2：从：从3030个白球和个白球和2020个黑球共个黑球共5050个球中随机个球中随机抽取两次（放回抽样），抽取两次（放回抽样），问抽出一个黑
5、球和一个白问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？球的概率是多少？抽出一个白球的概率为抽出一个白球的概率为3 35,5,抽出一个黑抽出一个黑球的概率为球的概率为2 25 5。抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此：个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此：四、概率分布类型概率分布（概率分布（probability distributionprobability distribution）是指对随机变量取不同值时的概率的描述，一是指对随机变量取不同值时的概率
6、的描述，一般用概率分布函数进行描述。般用概率分布函数进行描述。依不同的标准，对概率分布可作不同的分依不同的标准，对概率分布可作不同的分类。类。、离散型分布与连续型分布依随机变量的类型，可将概率依随机变量的类型，可将概率分布分为分布分为离散型概率分布离散型概率分布与与连续型连续型概率分布概率分布。心理与教育统计学中最。心理与教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布，最常用的离散型分布是二项分布，最常用的连续型分布是正态分布。常用的连续型分布是正态分布。 、经验分布与理论分布依分布函数的来源，可将概率分布分为经验依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与理论分布。分布与理论分布。 经验分布经验分
7、布经验分布经验分布（empirical distribution）是指根据）是指根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。对频率分布。 理论分布理论分布理论分布理论分布（theoretical distribution）是按某）是按某种数学模型计算出的概率分布。种数学模型计算出的概率分布。 、基本随机变量分布与抽样分布依所描述的数据的样本特性，可将概率分依所描述的数据的样本特性，可将概率分布分为基本随机变量分布与抽样分布布分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。）。基本随机变量分布基本随机变量分布是
8、随机变量各种不同取是随机变量各种不同取值情况的概率分布，值情况的概率分布，抽样分布抽样分布是从同一总体是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。内抽取的不同样本的统计量的概率分布。五二项分布五二项分布二项分布（二项分布（bionimal distribution）是一种具有广泛）是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，分布，它是由贝努里创始的，因此又称为贝努里分布。因此又称为贝努里分布。1 1二项试验二项试验满足以下条件的试验称为二项试验：满足以下条件的试验称为二项试验：一次试验只有一次试验只有两种两种可能的可能的结果结果，即成功，即成
9、功和失败；和失败；各次试验相互各次试验相互独立独立，即各次试验之间互，即各次试验之间互不影响；不影响；各次试验中各次试验中成功成功的概率相等，的概率相等，失败失败的概的概率也率也相等相等。2二项分布函数二项分布是一种离散型随机变量的概率二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。分布。用用 n n 次方的二项展开式来表达在次方的二项展开式来表达在 n n 次次二项试验中成功事件出现的不同次数（二项试验中成功事件出现的不同次数（X X0 0，11）的概率分布，叫做二项分布函数。）的概率分布，叫做二项分布函数。二项展开式的通式（即二项分布函数）：（67） 二项展开式的要点：项数：二项展开式中共有项数：
10、二项展开式中共有n n1 1项。项。方次：方次：p p的方次，从的方次，从n0n0为降幂；为降幂；q q的方次的方次从从0n0n为升幂。每项为升幂。每项p p与与q q方次之和等于方次之和等于n n。系数：各项系数是成功事件次数的组合数。系数：各项系数是成功事件次数的组合数。例：从男生占从男生占/ /的学校中随机抽取的学校中随机抽取个学生，问正好抽到个男生的概率是多个学生，问正好抽到个男生的概率是多少？最多抽到个男生的概率是多少？少？最多抽到个男生的概率是多少？解：将解：将n=6n=6，p=2/5p=2/5，q=3/5q=3/5，X=4X=4代入（代入（6 67 7）式，则恰好抽到）式，则恰好
11、抽到4 4个男生的概率为个男生的概率为最多抽到个男生的概率，等于个也最多抽到个男生的概率，等于个也没有抽到、抽到个和抽到两个男生的概率没有抽到、抽到个和抽到两个男生的概率之和，即之和，即3二项分布图以成功事件出现的次数为横坐标，以以成功事件出现的次数为横坐标，以成功事件出现不同次数的概率为纵坐标，成功事件出现不同次数的概率为纵坐标，绘制直方图或多边图，即为二项分布图。绘制直方图或多边图，即为二项分布图。二项分布是离散型分布，其概率直方二项分布是离散型分布，其概率直方图是跃阶式。图是跃阶式。 二项分布的性质从概率直方图可以看到，二项分布有从概率直方图可以看到，二项分布有如下性质：如下性质：当当p
12、=qp=q时，图形是对称的。时，图形是对称的。当当pqpq时，直方图呈偏态。时，直方图呈偏态。p pq q与与p pq q时的偏斜方向相反。时的偏斜方向相反。4 4二项分布的平均数和标准差二项分布的平均数和标准差如果二项分布满足如果二项分布满足p pq q且且 nq5nq5（或者（或者p pq q且且 np5np5时，二项分布接近于正态分布。可用下时，二项分布接近于正态分布。可用下面的方法计算二项分布的平均数和标准差。面的方法计算二项分布的平均数和标准差。二项分布的平均数为二项分布的平均数为二项分布的标准差为二项分布的标准差为（68） （69） 5二项分布的应用二项分布函数除了用来二项分布函数
13、除了用来求成功事件恰好出现求成功事件恰好出现X X次的次的概率之外，在教育中主要概率之外，在教育中主要用来判断试验结果的机遇用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限。性与真实性的界限。 例如，一个学生凭猜测做例如，一个学生凭猜测做1010个是非题，个是非题，平均可以猜对平均可以猜对5 5题。什么情况下可以说他是题。什么情况下可以说他是真会而不是猜测呢？真会而不是猜测呢？这种问题需要用累积概率来算。当做对这种问题需要用累积概率来算。当做对题或题以上时，累积概率为题或题以上时，累积概率为0.9890.989，也，也就是说，猜对题或就是说，猜对题或1010题的概率不足题的概率不足0.050.05。 表
14、6-1 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布做对题目数做对题目数出现方式数出现方式数概率概率P(X)P(X)累积概率累积概率0 01 10.0010.0010.0010.0011 110100.0100.0100.0110.0112 245450.0440.0440.0550.0553 31201200.1170.1170.1720.1724 42102100.2050.2050.3770.3775 52522520.2460.2460.6230.6236 62102100.2050.2050.8280.8287 71201200.1170.1170.9450.9458 845450.
15、0440.0440.9890.9899 910100.0100.0100.9990.99910101 10.0010.0011.0001.000总和总和102410241.0001.000例题：例题：一个教师对一个教师对8 8个学生的作业成绩个学生的作业成绩进行猜测，如果教师猜对的可能性为进行猜测，如果教师猜对的可能性为1 13 3，问：问：平均能猜对几个学生的成绩？平均能猜对几个学生的成绩？假如规定猜对假如规定猜对9595，才算这个教师，才算这个教师有一定的评判能力，那么这个教师至少要猜有一定的评判能力，那么这个教师至少要猜对几个学生？对几个学生？解：解：练习与思考第第194194页和页和196196页的有关习题。页的有关习题。观察我们的生活，看看哪些现象是服观察我们的生活，看看哪些现象是服从二项分布规律的？从二项分布规律的？20052005年年9 9月月再见！再见！
