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1、第 一 章静 电 场第一章 静电场Steady Electric Field基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、惟一性问题分离变量法有限差分法镜像法和电轴法电容和部分电容静电能量与力静电场的应用环路定律、高斯定律电场强度和电位序下 页返 回第 一 章静 电 场1.0 序 静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。本章要求 深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各
2、种计算方法。Introduction下 页上 页返 回第 一 章静 电 场静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D 的散度基本物理量 E、D基本实验定律（库仑定律）静电场知识结构E 的旋度下 页上 页返 回第 一 章静 电 场第 一 章静 电 场1.1.2 电场强度 ( Electric Intensity )V/m ( N/C ) 定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F（a） 单个点电荷产生的电场强度V/m图1.1.2 点电荷的电场一般表达式为下 页上 页返 回第 一 章静 电 场 （b) n个点电
3、荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )（c) 连续分布电荷产生的电场强度图1.1.4 体电荷的电场图1.1.3 矢量叠加原理元电荷产生的电场，下 页上 页返 回第 一 章静 电 场线电荷分布体电荷分布面电荷分布下 页上 页返 回第 一 章静 电 场解: 轴对称场，圆柱坐标系。 例1.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷线密度为 ,试求P 点的电场。下 页上 页返 回图1.1.5 带电长直导线的电场x x第 一 章静 电 场无限长直导线产生的电场平行平面场。0下 页上 页返 回第 一 章静 电 场矢量积分与标量积分； 点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，电荷密度为
4、 ，总电量不变的带电小球体。 基本概念平行平面场与轴对称场；点电荷的相对概念和数学模型下 页上 页返 回第 一 章静 电 场矢量恒等式故静电场是无旋场1. 静电场的旋度1.1.3 旋度和环路定律 ( Curl and Circuital Law )点电荷电场取旋度0下 页上 页返 回第 一 章静 电 场2. 静电场的环路定律电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。由Stokes定理，静电场在任一闭合环路的环量说明即下 页上 页返 回第 一 章静 电 场1.1.4 电位函数 ( Electric Potential ) 负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中1. E 与
5、 的微分关系矢量恒等式由根据E与 的微分关系，试问静电场中的某一点 ( ) ( )?下 页上 页返 回所以第 一 章静 电 场2. 已知电荷求电位点电荷群连续分布电荷以点电荷为例式中相应的积分原域下 页上 页返 回第 一 章静 电 场3. 与 E 的积分关系图1.1.6 E 与 的积分关系线积分式中设P0为电位参考点，即 ，则P点电位为所以下 页上 页返 回第 一 章静 电 场4. 电位参考点例如：点电荷产生的电位：点电荷所在处不能作为参考点场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。下 页上 页返 回第
6、 一 章静 电 场电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点，为什么？见参考书电磁学专题研究P591P597下 页上 页返 回第 一 章静 电 场5) 电力线与等位线（面）E 线微分方程直角坐标系当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线( 面 )。等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。电位相等的点连成的曲面称为等位面。1.1.7 电力线方程下 页上 页返 回第 一 章静 电 场解： 在球坐标系中所以用二项式展开，又有rd，得例1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 ( rd ) 。图1.1.8 电偶极子下 页上 页返 回
7、第 一 章静 电 场电力线方程 ( 球坐标系 ) ：等位线方程 ( 球坐标系 ) ：将 和 代入 E 线方程 表示电偶极矩（dipole moment)，方向由-q 指向 +q。图1.1.9 电偶极子的等位线和电力线下 页上 页返 回第 一 章静 电 场电力线与等位线（面）的性质：图1.1.10 点电荷与接地导体的电场图1.1.11 点电荷与不接地导体的电场E 线不能相交,等 线不能相交；E 线起始于正电荷，终止于负电荷;E 线愈密处，场强愈大;E 线与等位线（面）正交；下 页上 页返 回第 一 章静 电 场图1.1.12 介质球在均匀电场中图1.1.13 导体球在均匀电场中图1.1.14 点
8、电荷位于无限大介质上方图1.1.15 点电荷位于无限大导板上方下 页上 页返 回第 一 章静 电 场作散度运算1.2.1 真空中的高斯定律 (Gausss Theorem in Vacuum)高斯定律的微分形式1. E 的散度 说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。1.2 高斯定律Gausss Theorem下 页上 页返 回第 一 章静 电 场2. E 的通量图1.2.1 闭合曲面的电通量图1.2.2 闭合面外的电荷对场的影响散度定理 S 面上的 E 是由系统中全部电荷产生的。 E 的通量等于闭合面 S 包围的净电荷。下 页上 页返 回第 一 章静 电 场1.2.2. 电介质中的高斯定律
9、 (Gausss Theorem in Dielectric)1. 静电场中导体的性质导体内电场强度 E 为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面，接地导体都不带电。（ ）一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ）下 页上 页返 回第 一 章静 电 场无极性分子有极性分子图1.2.3 电介质的极化2. 静电场中的电介质电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。下 页上 页返 回E E
10、第 一 章静 电 场 极化强度P ( polarization intensity )表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中 电介质的极化率 各向同性媒质 媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质； 线性媒质 媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质； 均匀媒质 媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质。下 页上 页返 回第 一 章静 电 场 极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位体积 V 内电偶极子产生的电位3. 极化强度与极化电荷的关系图1.2.4 电偶极子产生的电位下 页上 页返 回第 一 章静
11、 电 场矢量恒等式：下 页上 页返 回图1.2.5 体积 V 内电偶极矩产生的电位第 一 章静 电 场令极化电荷体密度极化电荷面密度下 页上 页返 回第 一 章静 电 场思考根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零电介质均匀极化时，极化电荷体密度 有电介质时，场量为下 页上 页返 回第 一 章静 电 场4. 电介质中的高斯定律定义 电位移矢量 （displacement vector）所以高斯定律的微分形式取体积分有高斯定律的积分形式下 页上 页返 回第 一 章静 电 场在各向同性介质中介电常数 F/m其中 相对介电常数，无量纲量。构成方程下 页上 页返 回第 一 章静 电 场例1.2.1 平板电
12、容器中有一块介质,画出D 、E 和 P 线分布。图1.2.6 D、E 与 P 三者之间的关系D线E线P线思考D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E 线由正电荷出发，终止于负电荷；P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。电介质内部的电场强度是否减少了？下 页上 页返 回第 一 章静 电 场例 1.2.2 若点电荷q 分别置于金属球壳内外，问（1) 穿过闭合面（金属球壳）的 D 通量是多少？（2) 闭合面上的 D 与 q 有关吗？（3) 若在金属球壳外放置电介质，重问 1 )，闭合 面上 的 D 与电介质有关吗？下 页上 页返 回图1.2.7 点电荷 q 分别置于金属球壳的内外第
13、一 章静 电 场计算技巧：a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律 求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。 高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。5. 高斯定律的应用下 页上 页返 回第 一 章静 电 场 例1.2.3 试求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。解: 分析场分布,取圆柱坐标系由得下 页上 页返 回图1.2.8 无限长均匀带电体第 一 章静 电 场球壳内的电场球壳外的电场例1.2.4 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下 页上 页返 回图1.2.10 q分别在金属球内外图1.2.9 q在金属球壳内第 一 章静 电
14、场1.3 基本方程、分界面上的衔接条件1.3.1 基本方程 ( Basic Equation )静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition静电场的基本方程为微分形式积分形式构成方程下 页上 页返 回第 一 章静 电 场矢量 A 可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场? 例1.3.1 已知 试判断它能否表示静电场？ 解: 根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考下 页上 页返 回第 一 章静 电 场包围点 P 作高斯面 ( )。1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)1. D
15、的衔接条件则有根据图1.3.1 介质分界面D 的法向分量不连续当 时， D 的法向分量连续。下 页上 页返 回第 一 章静 电 场2. E 的衔接条件围绕点 P 作一矩形回路( )。 E 的切向分量连续。根据则有3. 折射定理当交界面上 时，折射定律下 页上 页返 回图1.3.2 介质分界面第 一 章静 电 场4、 的衔接条件设 P1 与 P2 位于分界面两侧， 因此电位连续得电位的法向导数不连续由 ，其中图1.3.3 电位的衔接条件下 页上 页返 回第 一 章静 电 场说明 （1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；图1.3.4 导体与电介质分界面例1.3.2 试写出导体与电介质分界面上
16、的衔接条件。 解: 分界面衔接条件导体中 E0 ，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。下 页上 页返 回第 一 章静 电 场解：忽略边缘效应图(a)图(b) 例1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。下 页上 页返 回图1.3.5 平行板电容器第 一 章静 电 场1.4 边值问题、惟一性定理1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程 (Poissons Equation and Laplaces Equation)泊松方程拉普拉斯算子Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem拉普拉斯方程当r =0时下 页上 页返 回第 一 章静 电 场1.4.2 边值问题（Boundary Problem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件(待讲）分界面衔 接条件 强制边界条件 有限值自然边界条件 有限值泊松方程拉普拉斯方程下 页上 页返 回第 一 章静 电 场场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
