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1、备战考试 | 千锤百练 第1章 随机变量及其概率1，写出以下试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4） 抛一枚硬币，假设出现H那么再抛一次；假设出现T，那么再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：1；2；3；4。2，设是两个事件，求。解：，3，在100，101，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。解：在100，101，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为，所以所求
2、得概率为4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。1求该数是奇数的概率；2求该数大于330的概率。解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有个。1该数是奇数的可能个数为个，所以出现奇数的概率为2该数大于330的可能个数为，所以该数大于330的概率为5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求以下事件的概率。14只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。24只中至少有2只红球。34只中没有白球。解: 1所求概率为；2 所求概率为；3所求概率为。6，一公司向个销售点分发张提货单，设每张提货单分发给每
3、一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到张提货单的概率。解：根据题意，张提货单分发给个销售点的总的可能分法有种，某一特定的销售点得到张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到张提货单的概率为。7，将3只球13号随机地放入3只盒子13号中，一只盒子装一只球。假设一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。1求3只球至少有1只配对的概率。2求没有配对的概率。解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以2没有配
4、对的概率为；1至少有1只配对的概率为。8，1设，求,.2袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，假设取到白球，放回，并放入1只白球；假设取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解：1由题意可得，所以， ，。2设表示“第次取到白球这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为根据乘法公式 。9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解：设“得到的两只球中至少有一只是红球记为事件，“另一
5、只也是红球记为事件。那么事件的概率为先红后白，先白后红，先红后红所求概率为10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以表示事件“一病人以为自己患癌症，以表示事件“病人确实患了癌症，求以下概率。1；2；3；4；5。解：1根据题意可得；2根据条件概率公式：；3；4；5。11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。解：根据题意，这11个字母
6、中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为；或者。12，据统计，对于某一种疾病的两种病症：病症A、病症B，有20%的人只有病症A，有30%的人只有病症B，有10%的人两种病症都有，其他的人两种病症都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求1该人两种病症都没有的概率；2该人至少有一种病症的概率；3该人有病症B，求该人有两种病症的概率。解：1根据题意，有40%的人两种病症都没有，所以该人两
7、种病症都没有的概率为；2至少有一种病症的概率为；3该人有病症B，说明该人属于由只有病症B的30%人群或者两种病症都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在该人有病症B的条件下该人有两种病症的概率为。13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被承受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解：设“讯号通过通讯线进入计算机系统记为事件，“进入讯号被无误差地承受记为事件。那么根据全概率公式有 =0.9997814，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检
8、验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎记为事件，“一名被检验者确实患有关节炎记为事件。根据全概率公式有，所以，根据条件概率得到所要求的概率为即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。一程序因打字机发生故障而被破坏了，
9、求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字分别记为事件。那么根据全概率公式有，根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为，。16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。解：设“一讯息是由密码钥匙传送的记为事件，“一讯息是可信的记为事件。根据Bayes公式，所要求的概率为17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H，“第二次得H
10、，“两次得同一面。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立两两独立，但A,B,C不是相互独立。解：根据题意，求出以下概率为， ；， ，。所以有，。即说明A和B，B和C，C和A两两独立。但是所以A,B,C不是相互独立。18，设A,B,C三个运发动自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求1恰有一人进球的概率；2恰有二人进球的概率；3至少有一人进球的概率。解：设“A,B,C进球分别记为事件。1设恰有一人进球的概率为，那么 由独立性 2设恰有二人进球的概率为，那么 由独立性 3设至少有一人进球的概率为，那么。19，有
11、一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4；第二次才检验出该型血的概率为0.60.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为0.620.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为0.630.4=0.0864
12、；所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704220，一元件或系统能正常工作的概率称为元件或系统的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为，试求系统的可靠性。1第20题543解：设“元件能够正常工作记为事件。那么系统的可靠性为21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。假设真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；假设真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进展了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次
13、检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。注：此题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式解：设“一产品真含有杂质记为事件，“对一产品进展3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质记为事件。那么要求的概率为，根据Bayes公式可得又设“产品被检出含有杂质记为事件，根据题意有，而且，所以；故，第1章习题解答完毕第2章 随机变量及其分布1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进展验血的次数，求Y的分布律。解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取说明第个人是A型血而前个人都不是A型血，因此有， 上式就是随机变量
14、Y的分布律这是一个几何分布。2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如下图。当信号发出时各阀门以0.8的概率翻开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。解：X只能取值0，1，2。设以记第个阀门没有翻开这一事件。那么，类似有，AB213,综上所述，可得分布律为 X0120.0720.5120.4163,据信有20%的美国人没有任何安康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何安康保险的人数设各人是否有安康保险相互独立。问X服从什么分布？写出分布律。并求以下情况下无任何安康保险的概率：1恰有3人；2至少有2人；3不少于1人且不多于3人；4多于5人。解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为。12；3；44，设有一由个元件组成的系统，记为，这一系统的运行方式是当且仅当个元件中至少有个元件正常工作时，系统正常工作。现有一系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。解：对于系统，当至少有
