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1、福建省福州市夏威英语学校2021年高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若xA，则A，就称A是伙伴关系集合，集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）A31B7C3D1参考答案：B【考点】12：元素与集合关系的判断【专题】49 ：综合法；4R：转化法；5J ：集合【分析】利用xA，则A，即可判断出集合A的伙伴关系集合个数【解答】解：集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，故选：B2. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，
2、收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是A年接待游客量逐年增加B各年的月接待游客量高峰期在8月C2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳参考答案：C3. 与椭圆共焦点且过点P的双曲线方程是：A B C D参考答案：B由题设知：焦点为,选B.4. 设为锐角，若与共线，则角（ ）A 15 B 30 C45 D60参考答案：B5. 下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）的
3、是（）Af（x）=Bf（x）=（x1）2Cf（x）=exDf（x）=ln（x+1）参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明【专题】综合题【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断【解答】解：对任意x1、x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2），函数在（0，+）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，故B不对；C、由于e1，则由指数函数的单调性知，在（0，
4、+）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（1，+），由于e1，则由对数函数的单调性知，在（0，+）上是增函数，故D不对；故选A【点评】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用6. 在ABC中，若此三角形有两解，则b的范围为（ ） A Bb 2 Cb2 D参考答案：A7. 已知tan（+）=，tan（）=，那么tan（+）等于（）ABCD参考答案：C【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】把已知的条件代入=tan（+）（）=，运算求得结果【解答】解：已知，=tan（+）（）= = =，故选C
5、【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题8. 已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为( ) A B C D参考答案：D的图像如图所示，极大值；记，要使得方程有四个零点，则必有两个零点且，又常数项为1，所以，故9. 已知向量，若则的值为（ ）ABCD参考答案：C略10. 已知中，且的面积为，则（ ）A B C或 D或 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则_。参考答案：12. 已知奇函数在时，则在区间上的值域为 参考答案：13. 已知，则_.参考答案：略14. 若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则
6、实数a=参考答案：3【考点】反函数【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），4=log2（1+1）+a4=1+a，a=3故答案为：315. Sn为等差数列an的前n项和，a1=2，S3=12，则a6= 参考答案：12【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1=2，S3=12，32+=12，解得d=2则a6=2+52=12故答案为：1216.
7、已知（，），sin=，则tan=参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cos 和tan的值，利用两角和的正切公式求出tan的值【解答】解：（，），sin=，cos=，tan=tan=，故答案为：17. 设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有 （写出所有你认为正确的结论的序号）参考答案：（2）（3）略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知函数（1）求函数的定义域；（2）若，
8、试根据单调性定义确定函数的单调性；（3）若函数是增函数，求的取值范围。 参考答案：【知识点】定义域；单调性.B1,B3【答案解析】(1) (2)略(3) 解析：解：(1)由的定义域是(2)若则，所以函数为增函数. ,所以是增函数，联立可知【思路点拨】根据解析式成立的条件求出定义域；利用概念证明单调性；最后根据条件求出a的取值范围.19. 某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管
9、道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.（1）试将表示成关于的函数； （2）需要修建多少个增压站才能使最小？参考答案：解：（1）设需要修建个增压站，则，即. 所以.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x60. 故y与x的函数关系是（2）设，则由，得，又0x60，则. 所以在区间内为增函数，在区间内为减函数. 所以当时，取最小值，此时. 故需要修建19个增压站才能使最小.20. 已知圆x2+y24x+2y3=0和圆外一点M（4，8）（1）求圆心坐标和半径长；（2）过点M作直线与圆交于A，B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程参考答案：【考点】直线与圆相交的性质 【专题】直线与圆【分析】（1）
10、求出圆的标准方程，即可得到圆心与半径（2）设出割线的方程，利用圆心距与半径半弦长的关系，求解斜率，得到直线方程【解答】解：（1）圆x2+y24x+2y3=0化为标准方程为：（x2）2+（y+1）2=8，圆心为P（2，1），半径r=2（2）若割线斜率存在，设AB：y+8=k（x4），即kxy4k8=0设AB的中点为N，则|PN|=，由|PN|2+=r2，得k=，此时AB的直线方程为45x+28y+44=0若割线斜率不存在，AB：x=4，代入圆方程得y2+2y3=0，解得y1=1，y2=3，符合题意 综上，直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，割
11、线方程的求法，考查计算能力21. （15分）（2015?东阳市模拟）已知椭圆，离心率，且过点，（1）求椭圆方程；（2）RtABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求ABC面积的最大值参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及点满足方程，解方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）分别设出AB，AC的方程，代入椭圆方程，求得B，C的横坐标，运用弦长公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值解答：解：（1）由，即=，又a2b2=c2，得a=3b，把点带入椭圆方程可得
12、：，所以椭圆方程为：；（2）不妨设AB的方程y=kx+1，则AC的方程为由得：（1+9k2）x2+18kx=0，k用代入，可得，从而有，于是 令，有，当且仅当，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和基本不等式的运用，属于中档题22. 现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有A、B、C三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟，游戏主办方将宝物放置在B线路上（参赛方并不知晓），开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随
13、机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回至P处，期间所花费的时间记为X（1）求X30分钟的概率；（2）求X的分布列及EX的值参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）利用互斥事件概率加法公式能求出X30分钟的概率（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX的值解答：解：（1）X30分钟的概率：P（X30）=P（B）+P（AB）=（2）由题意知X的所有可能取值为20，30，50，60，P（X=20）=P（B）=，P（X=30）=P（AB）=，P（X=50）=P（CB）=，P（X=60）=P（ABC）+P（CAB）=，X的分布列为：X20305060PEX=20+30+50+60=40（分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题
