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1、浙江省丽水市石牛中学2021年高二数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A. 28B. 49C. 56D. 85参考答案:B【分析】由题意知丙没有入选,只需把丙去掉,把总的元素个数变为9个,甲乙至少有1人入选,包括甲乙两人只选一个的选法和甲乙都入选两种情况,根据分类计数原理,即可求解【详解】由题意知,丙没有入选,所以只需把丙去掉,把总的元素个数变为9个,因为甲乙至少有1人入选,所以条件可分为两类:一类是甲乙
2、两人只选一个的选法,共有种选法;另一类是甲乙两人都入选,共有种选法,由分类计数原理可得,不同的选法共有种选法,故选B【点睛】本题主要考查了分类计数原理和组合数的应用,其中解答中根据题意先安排有限制条件的元素,再安排没有限制条件的元素,做到不重不漏是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题2. 若正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点P满足,则动点P 的轨迹为A三段圆弧 B三条线段 C椭圆的一部分和两段圆弧 D双曲线的一部分和两条线段参考答案:A3. 若,且z=x+y的最大值是2,则a=()A1B2C1D2参考答案:D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域,
3、利用线性规划的知识,结合z=x+y的最大值是2,可知a0,求出最优解的坐标,代入目标函数即可求出a的值【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(),化目标函数z=x+y为y=x+z,由图可知,当直线y=x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为,得a=2故选:D【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题4. 设a,bR,c0,2),若对任意实数x都有2sin(3x)=asin(bx+c),则满足条件的a,b,c的组数为()A1组B2组C3组D4组参考答案:D【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】由题意确定a,b,从而可得满足条件的a,b,c的组数
4、【解答】解:由题意2sin(3x)=asin(bx+c),他们周期和最值相同,sin(bx+c)在bR,c0,2)的值可以取得1,a=2同理:对任意实数x都成立,他们周期相同,b=3那么c0,2)只有唯一的值与其对应满足条件的a,b,c的组数为4组故选:D5. 若二面角为,直线,直线,则直线m,n所成角的取值范围是 A B C D 参考答案:D6. 焦距为,离心率,焦点在轴上的椭圆标准方程是 ( ) 参考答案:D略7. 一组数据的平均数是,方差是,若将这组数据中的每一个数据都加上,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是() A B C D 参考答案:D8. 已知,函数的最小值是A5
5、B4 C8 D6参考答案:B9. 函数的单调递增区间是( ) A. B.(0,3) C.(1,4) D. 参考答案:D 10. 数列的通项公式为,则数列的前项和( )A B C D参考答案:B试题分析:由题意得,数列的通项公式为,所以数列的前项和,故选B.考点:数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题,其中解答中涉及到数列的通项公式及通项公式的裂项、数列的裂项求和等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中把数列的通项公式化简为是解答的关键,属于基础题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方体中,点,分别为,
6、的中点 ,点在棱上,若平面,则四棱锥的外接球的体积为 .参考答案: 12. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为_参考答案:由三视图可知:,13. 已知函数,则= 。参考答案:略14. 运行下面的程序,如果输入的n是6,那么输出的p是 参考答案:72015. 已知向量a(1,3),b(3,n),若2ab与b共线,则实数n的值是_参考答案:916. 若将复数表示成(a,b?R,i是虚数单位)的形式,则参考答案:117. 某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C3门课由于上课时间相同,至多选1门,若学校规定每位学生选修4门,则不同选修方案共有 种参考答案:75【考点】计数原理的应用【专题】
7、应用题;排列组合【分析】由题意分两类,可以从A、B、C三门选一门,再从其它6门选3门,也可以从其他六门中选4门,根据分类计数加法得到结果【解答】解:由题意知本题需要分类来解,第一类,若从A、B、C三门选一门,再从其它6门选3门,有C31C63=60,第二类,若从其他六门中选4门有C64=15,根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法故答案为:75【点评】本题考查分类计数问题,考查排列组合的实际应用,利用分类加法原理时,要注意按照同一范畴分类,分类做到不重不漏三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知过点A(1,1)且斜率为-m(m0)
8、的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q,过P、Q作直线2x+y=0的垂线,垂足为R、S,求四边形PRSQ面积的最小值。参考答案:19. 解不等式:(1)|8-x|3 (2)-x2+3x+100 (10分)参考答案:略20. (12分)已知a(1,3,2),b(2,1,1),点A(3,1,4),B(2,2,2)(1)求|2ab|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得 (O为原点)?参考答案:21. (本题满分10分)已知椭圆方程为,它的一个顶点为,离心率()求椭圆的方程;()设直线l与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值参考答案:(1);(2)(1)设,依题意得
9、,解得 椭圆的方程为 (2)当AB 当当AB与坐标轴不垂直时,设直线AB的方程为,由已知得 代入椭圆方程,整理得 当且仅当时等号成立,此时 综上所述:,此时面积取最大值 22. (本小题满分16分)电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳,每步从一顶点跳到相邻的顶点(1)直接写出跳两步跳到的概率;(2)求跳三步跳到的概率;(3)青蛙跳五步,用表示跳到过的次数,求随机变量的概率分布参考答案:将A标示为0,A1、B、D标示为1,B1、C、D1标示为2,C1标示为3,从A跳到B记为01,从B跳到B1再跳到A1记为121,其余类推.从0到1与从3到2的概率为1,从1到0与从2到3的概率为,从1到2与从2到1的概率为.(1)P; 4(2)PP(0123)1; 10(3)X0,1,2. P(X1)P(010123)P(012123)P(012321)11111,P(X2)P(012323)11 ,P(X0)1P(X1)P(X2)或P(X0)P(010101)P(010121)P(012101)P(012121)11111111,X012p16