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1、8.1 匹配滤波器8.2 最小差错概率接收准则8.3 确知信号的最佳接收机8.4 随相信号的最佳接收机8.5 最佳接收机性能比较8.6 最佳基带传输系统 第 8 章 数字信号的最佳接收返回主目录第8章 数字信号的最佳接收 在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。人们总是希望在一定的传输条件下，达到最好的传输性能，最佳接收就是在噪声干扰中如何有效地检测出信号。 所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最佳接收是个相对的概念，在某种准则下的最佳系统，在另外一种准则下就不一定是最佳的。在某些特定条件下，几种最佳准则也可能是等价的。 在数字通信中，最常采用的
2、是输出信噪比最大准则和差错概率最小准则。8.1 匹配滤波器（Matched Filter） 在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。 通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则：一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。 因此，为了使错误判决概率尽可能小，就要选择滤波器传输特性使滤波器输
3、出信噪比尽可能大的滤波器。当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。 滤波器输入(8.1 - 1)滤波器输出(8.1 - 2)(8.1 - 3)滤波器输出噪声的平均功率为(8.1 - 4)在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为(8.1 - 5)滤波器输出信噪比ro与输入信号的频谱函数S()和滤波器的传输函数H()有关。在输入信号给定的情况下，输出信噪比ro只与滤波器的传输函数H()有关。使输出信噪比ro达到最大的传输函数H()就是我们所要求的最佳滤波器的
4、传输函数。施瓦兹(Schwartz)不等式(8.1 - 6)式中， X()和Y()都是实变量的复函数。当且仅当时式中等式才能成立。(8.1 - 7)(8.1 - 8)(8.1 - 9)令可得(8.1 - 10)根据帕塞瓦尔(Parseval)定理有(8.1 - 11)(8.1 - 12)因此最大输出信噪比(8.1 - 13)(8.1 - 14)根据施瓦兹不等式中等号成立的条件可得匹配滤波器(8.1 - 15)即匹配滤波器的单位冲激响应为(8.1 - 16)上式表明，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。图8-2 匹配滤波器单位冲激响应原理(8.
5、1 - 17)对于因果系统(8.1 - 18)因此必须有(8.1 - 19)上式条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器，其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0T。对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取t0=T。 (8.1 - 20)输出信号(8.1 - 21)令 上式表明，匹配滤波器的输出波形是输入信号s(t)的自相关函数的K倍。因此，匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在t0时刻得到最大输出信
6、噪比romax=2E/n0。由于输出信噪比与常数K无关，所以通常取K=1。 例 8 - 1设输入信号如图 8 - 3(a)所示，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。 频谱函数解：(1) 输入信号为传递函数冲激响应图8-3 信号时间波形取t0=T，则有(2) 匹配滤波器的输出为可见，匹配滤波器的输出在t=T时刻得到最大的能量E= T/2。 8.2 最小差错概率接收准则 匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准来构造接收机。在数字通信中，人们更关心判决输出的数据准确率，因此，使输出总误码率最小的最小差错概率准则，更适合于作为数字信号接收的准则。8.2.1 数字信号接收的统计模型 在数字信号
7、的最佳接收分析中，我们不是采用先给出接收机模型然后分析其性能的分析方法，而是从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。图 8 4 数字通信系统的统计模型 图中消息空间、 信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别代表消息、 发送信号、噪声、接收信号波形及判决结果的所有可能状态的集合。各个空间的状态用它们的统计特性来描述。 在数字通信系统中，消息是离散的状态。消息是各种物理量，本身不能直接在数字通信系统中进行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号s(t)。通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系消息信号P(si)是描述信号发送概率的
8、参数，通常称为先验概率，它是信号统计检测的第一数据。 信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。(8.2 - 7) 根据随机信号分析理论我们知道，若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的，同时也是统计独立的。根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则有k维概率密度(8.2 - 8)根据帕塞瓦尔定理，当k很大时有(8.2 - 9)一维概率密度(8.2 - 10)k维概率密度(8.2 - 11
9、)式中 为噪声的单边功率谱密度。公式(8.2-11)的推导： 若低通信道的截止频率为fH，理想抽样频率为2fH，则在(0, T)时间内共有2fHT个抽样值，其平均功率为令抽样间隔 ，若 ，则有(8.2 - 12)将公式(8.2-11)代入(8.2-10)可得 信号通过信道叠加噪声后到达观察空间，由于在一个码元期间T内，信号集合中各状态s1, s2, , sm 中之一被发送，因此在观察期间T内观察波形为由于n(t)是均值为零，方差为2n的高斯过程，则当出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数可表示为(8.2 - 13)(8.2 - 14)fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据
10、。 8.2.2 最佳接收准则 在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。这样将会造成错误接收，我们期望错误接收的概率愈小愈好。 在噪声干扰环境中，按照何种方法接收信号才能使得错误概率最小？我们以二进制数字通信系统为例分析其原理。在二进制数字通信系统中，发送信号只有两种状态，假设发送信号s1(t)和s2(t)的先验概率分别为P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在观察时刻的取值分别为a1和a2，出现s1(t)信号时y(t)的概率密度函数fs1(y)
11、为同理(8.2 - 15)(8.2 - 16)图 8- 5 fs1(y)和fs2(y)的曲线图若在观察时刻得到的观察值为yi，可依概率将yi判为r1或r2。可以看出即yi属于r1的概率大于yi属于r2的概率。因此，依大概率应将yi判为r1出现。 在yi附近取一小区间aa内属于r1的概率 (8.2 - 17)a内属于r2的概率 (8.2 - 18)图 8 6 判决过程示意图 根据fs1(y)和fs2(y)的单调性质，在下图中y坐标上可以找到一个划分点y0。在区间(-, y0，q1q2；在区间(y0, )，q1q2。根据下图所分析的判决原理，当观察时刻得到的观察值yi(-, y0)时，判为r1出现
12、；若观察时刻得到的观察值yi(y0, )时，判为r2出现。如果发送的是s1(t)，但是观察时刻得到的观察值yi落在(y0,)区间, 被判为r2出现，这时将造成错误判决，其错误概率为(8.2 - 19)(8.2 - 20)同理(8.2 - 21)总误码率可以看出，系统总的误码率与先验概率、似然函数及划分点y0有关。在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率Pe是划分点y0的函数。(8.2 - 22)(8.2 - 23)y0为最佳划分点，于是有(8.2 - 24)为了达到最小差错概率，可以按以下规则进行判决(8.2 - 25)以上判决规则称为似然比准则。在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最
13、小差错概率准则是等价的。 当s1(t)和s2(t)的发送概率相等时，即P(s1)=P(s2)时，则有(8.2 - 26)上式判决规则称为最大似然准则，其物理概念是，接收到的波形y中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。 以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中，对于m个可能发送的信号，在先验概率相等时的最大似然准则为 最小差错概率准则是数字通信系统最常采用的准则，除此之外，贝叶斯(Bayes)准则、尼曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则、极大极小准则等有时也被采用。 (8.2 - 27)8.3 确知信号的最佳接收机 信号统计检测是利用概率和数理统计的工具来设计接收机。所谓最佳接收机设
14、计是指在一组给定的假设条件下，利用信号检测理论给出满足某种最佳准则接收机的数学描述和组成原理框图，而不涉及接收机各级的具体电路。图 8 7 接收端原理8.3.1 二进制确知信号最佳接收机结构 在 (0, T)内(8.3 - 1)(8.3 - 2)合成波(8.3 - 3)(8.3 - 4)似然函数(8.3 - 5)判为s1(t)出现(8.3 - 6)判为s2(t)出现判为s1(t)出现判为s2(t)出现(8.3 - 9)式中在先验概率P(s1)和P(s2)给定的情况下，U1和U2都为常数。图 8 8 二进制确知信号最佳接收机结构这种最佳接收机的结构是按比较观察波形y(t)与s1(t)和s2(t)
15、的相关性而构成的，因而称为相关接收机。其中相乘器与积分器构成相关器。图 8- 9 二进制确知信号最佳接收机简化结构 如果发送信号s1(t)和s2(t)的出现概率相等，即P(s1)=P(s2)，则可得U1=U2。于是在先验等概率情况下的二进制确知信号最佳接收机可以简化结构。匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器。(8.3 - 10)冲激响应(8.3 - 11)合成波(8.3 - 12)t=T时刻的输出可以看出匹配滤波器在抽样时刻t=T时的输出样值与最佳接收机中相关器在t=T时的输出样值相等，因此，可以用匹配滤波器代替相关器构成最佳接收机。图 8- 10 匹配滤波器形式的最佳接收机在最小差错概率准则下，相关器形式的最佳接收机与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的。另外，无论是相关器还是匹配滤波器形式的最佳接收机, 它们的比较器都是在t=T时刻才作出判决，也即在码元结束时刻才能给出最佳判决结果。因此，判决时刻的任何偏差都将影响接收机的性能。 本章结束习题：8-4，8-8， 8-9
