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1、内蒙古自治区赤峰市内蒙古市长胜中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 A B C D参考答案：C略2. 函数的图象是（ ）参考答案：D3. 下列叙述中，正确的个数是（ ）命题p：“”的否定形式为：“”；O是ABC所在平面上一点，若，则O是ABC的垂心；“MN”是“”的充分不必要条件；命题“若，则”的逆否命题为“若，则”A.1 B.2 C.3D.4参考答案：C略4. 设数列的前项和为，若，则（
2、 ）A B C D 参考答案：B5. 要得到函数的图象,可把函数的图象( )（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度参考答案：C6. 对任意x1，x2R，当x1x2时，函数都满足不等式，若函数为奇函数，则不等式的解集为 ( )A. B. C. D.参考答案：A略7. 若复数为纯虚数，则实数的值为 A B C D或参考答案：A8. 已知数列为等差数列，且，则=（ ）A. B. C. D. 参考答案：A 9. 已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是（）ABCD参考答案：B略10. 设等差数列的前n项和为若，则= A.3
3、0 B. 15 C. 12 D. 10参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .参考答案：12. 不等式对任意恒成立的实数的取值范围是 .参考答案：略13. 已知数列an的前n项和为Sn，满足：a1=1，an+1+2Sn?Sn+1=0，则该数列的前2017项和S2017=参考答案：【考点】数列的求和【分析】将an+1=Sn+1Sn代入an+1+2Sn?Sn+1=0化简后，由等差数列的定义判断出数列是等差数列，由条件求出公差和首项，由等差数列的通项公式求出，再求出Sn和S2017【解答】解：an+1+2Sn?Sn+1=0，Sn+
4、1Sn+2Sn?Sn+1=0，两边同时除以Sn?Sn+1得，又a1=1，数列是以2为公差、1为首项的等差数列，=1+2（n1）=2n1，则Sn=，该数列的前2017项和S2017=，故答案为：14. 编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为 参考答案：编号为1,2,3,4的四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，共有 种基本事件，其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（1，2，4，3），（1，4，3，2），（1，3，2，4），（4，2，3，1），（
5、3，2，1，4），（2，1，3，4），共6种其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（4，3，2，1）因此至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为 15. 设O为坐标原点，给定一个点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动，l（x）表示线段AB的长，则OAB中两边长的比值的最大值为 参考答案：【考点】正弦定理【分析】在三角形AOB中，利用正弦定理即可表示出两条边的比值，然后根据三角函数的定义求出sinAOB的值，两边的比值最大即sinA等于1，利用sinA等于1和求出的sinAOB的值即可得到比值的最大值【解答】解：在AOB中，由正弦定理得： =即=，且sinAOB=，因为A为
6、定点，得到AOB不变，所以当sinA=1时，OAB中两边长的比值取最大，最大值为=故答案为：16. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为 参考答案：217. 在ABC中，a3，b，c2，那么B等于_. 参考答案：由题意可得，所以.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知函数=，其中a0 （1）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合（2）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案：（）若，则对一切，这与题设矛盾
7、，又，故而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当令则当时，单调递增；当时，单调递减故当时，取最大值因此，当且仅当即时，式成立综上所述，的取值集合为（）由题意知，令则令，则当时，单调递减；当时，单调递增故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且故当且仅当时， 综上所述，存在使成立且的取值范围为 19. （本小题满分12分）已知函数（1）求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; （2）证明：f(x)1.参考答案：(1)函数f(x)的定义域为(0，)， 2分由题意可得f(1)2，f(1)e，故曲线在处
8、的切线方程为; 4分(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex .6分设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x，所以当x(0, )时，g(x)0.故g(x)在(0, )上单调递减，在(,+)上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g() .8分设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1. 12分20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点，（1）证明：BD平面P
9、AC（2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出PABD，BDAC，由此能证明BD平面PAC（2）由PA平面ABCD，得GO面ABCD，DGO为DG与平面PAC所成的角，由此能求出DG与平面APC所成的角的正切值【解答】证明：（1）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PABD，设AC与BD的交点为O，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BDAC而PAAC=A，BD平面PAC解：（2）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA平面ABCD
10、，得GO面ABCD，GOOD，故OD平面PAC，故DGO为DG与平面PAC所成的角由题意可得GO=PA=，在ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22AB?BC?cosABC=4+4222cos120=12，AC=2，OC=，RtCOD中，OD=2，RtGOD中，tanDG与平面APC所成的角的正切值为21. 有A，B，C，D四个城市，它们各有一个著名的旅游景点，依次记为a，b，c，d，把A，B，C，D和a，b，c，d分别写成左，右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左，右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分. （1）求该爱好者得分的分布列； （2）求所得分的数学期望.参考答案：解析：（1）设连对的个数为y，得分为x.因为y=0,1,2,4，所以x=0,2,4,8 x0248P 于是x的分布列为 （9分） （2）即该人得分的期望为2分（12分）22. 记函数f(x)的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax) (a1)的定义域为B.(1)求A；(2)若B?A，求实数a的取值范围参考答案：(1)由20，得0.解上式得x0，得(xa1)(x2a)0.由a2a.所以g(x)的定义域B(2a，a1)又因为B?A，则可得2a1或a11，即a或a2.因为a1，所以a1或a2.故当B?A时，实数a的取值范围是(，2
