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1、.球和立体几何中的创新问题知识要点1球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做球。2截面性质：球的截面都是圆,其中恰好经过球心的半径最大,叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。3球的表面积、体积公式：S=4R2,V=R34. 球中的切接问题：可以正方体,长方体,正四面体为例做推导。*5球面距离：球面上两点的大圆劣弧长,是球面上两点间的最短距离*6地球仪中的经纬度：纬度为线面角,经度为二面角实战训练球的问题1.64个直径都为的球,记它们的体积之和为,表面积之和为；一个直径为的球,记其体积为,表面积为,则CABCD2.球的面积膨胀为原来的两倍,膨胀后的球的体积变为原来的C
2、倍。AB2 CD4 3在球面上有四个点P,A,B,C,且满足PA=PB=PC=,PA,PB,PC两两垂直,则球的表面积为_；体积为_4自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,球的半径为R,则AAB3RC2RD5.两球的表面积之差为,它们的大圆周长之和为,则这两球的直径之差为 D A1 B2 C3 D4 6半径为4的球面上有A,B,C,D四点,且满足,则的最大值为为三角形的面积_327与棱长为的正方体各条棱都相切的球的直径为_8正四面体的内切球半径与其外接球半径的比为_9球的外切正四面体的高是球的直径的_倍210半径为R的球的内接正四面体的高为_11正四面体的棱长为1,球O与正四面
3、体的各棱均相切,且O在正四面体的内部,则球O的表面积为_12将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 C A B C D13在一个大空心球的内部装有四个半径为1的实心球,那么这个大球的表面积至少是 A A B C D14三个半径为R的小球两两相切放在水平桌面上,又一个半径为r的小球同时与这三个小球相切,且和桌面也相切,则R：r为 D A B C D17已知球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,则球的半径等于_；球的表面积等于_；球的体积等于_18正四棱锥PABCD的底面边长为2,侧棱长为,且它的五个顶点都在同
4、一球面上,则此球的半径为_19在北纬60o圈上有A,B两地,它们经度相差180o,则A,B两地沿纬度圈的弧长与A,B两地的球面距离之比是_ 3：220设地球的半径为R,若甲地位于北纬45o,东经120o,乙地位于南纬75o,东经120o,则甲、乙两地的球面距离为A B C D21球面上有三点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这三个点的小圆的周长为,那么这个球的半径为_22已知球O的半径为1,A,B,C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为,则球心O到平面ABC距离为_23半径为1的球面上有A,B,C三点,已知A和B,A和C之间的球面距离均为,B和C之间的球面距离为,则A,B,C三点
5、的截面到球心的距离是 _ 24.如图,在斜三棱柱中,侧面与底面ABC所成的二面角为,E、F分别是棱的中点求与底面ABC所成的角证明平面求经过四点的球的体积。解：过A1作A1H平面ABC,垂足为H.连结AH,并延长交BC于G,连结EG,于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角.A1AB=A1AC,AG为BAC的平分线.又AB=AC,AGBC,且G为BC的中点因此,由三垂线定理,A1ABC.A1A/B1B,且EG/B1B, EGBC 于是AGE为二面角ABCE的平面角,即AGE=120由于四边形A1AGE为平行四边形,得A1AG=60,所以,A1A与底面ABC所成的角为60,证明：设EG与B1C的
6、交点为P,则点P为EG的中点,连结PF.在平行四边形AGEA1中,因F为A1A的中点,故A1E/FP.而FP平面B1FC,A1E/平面B1FC,所以A1E/平面B1FC.解：连结A1C,在A1AC和A1AB中,由于AC=AB,A1AC=A1AB,A1A=A1A,则A1ACA1AB,故A1C=A1B,由已知得 A1A=A1B=A1C=a.又A1H平面ABC,H为ABC的外心.设所求球的球心为O,则OA1H,且球心O与A1A中点的连线OFA1A.在RtA1FO中,故所求球的半径,球的体积.创新问题1.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为A. B. C. D.答案 C2
7、.2008XX、XX理某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为 ABCD答案 C解析结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为,由题意得,所以,当且仅当时取等号。3.2008XX、XX文一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,那么这个球的体积为_答案解析正六边形周长为,得边长为,故其主对角线为,从而球的直径球的体积.4.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个
8、截面如图,则图中三角形的面积是.答案5.在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是 C A若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为0,1 B若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为 C若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为D若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为6.如图,在直三棱柱中,底面为直角三角形,是上一动点,则的最小值为解：连结,沿将展开与在同一个平面内,如图所示,连,则的长度就是所求的最小值通过计算可得,又故,由余弦定理可求得7.如图,在长方形中,为的中点,为线段端点除外上一动点现将沿折起,使平面平面在平面内过点作,为垂足设,则的取值范围是答案：解析此题
9、的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,随着F点到C点时,因平面,即有,对于,又,因此有,则有,因此的取值范围是8.如图,已知等腰直角三角形,其中=90,点A、D分别是、的中点,现将沿着边折起到位置,使,连结、1求证：；2求二面角的平面角的余弦值1证明 点A、D分别是、的中点,. =90., ,平面. 平面,. 2解 建立如图所示的空间直角坐标系则1,0,0,2,1,0,0,0,1.=1,1,0,=1,0,1, 设平面的法向量为=x,y,z,则：, 令,得,=1,1,1.显然,是平面的一个法向量,= cos= 二面角的平面角的余弦值是. 9.以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形,
10、从中随机地取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率为 A B C D答案A解析：此问题可以分解成五个小问题：由正方体的八个顶点可以组成个三角形；正方体八个顶点中四点共面有12个平面；在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有个；从56个三角形中任取两个三角形共面的概率；从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率,利用对立事件的概率的公式,得故选A10.如图,正方体中,点在侧面及其边界上运动,并且总保持,则动点的轨迹是AA线段B线段C线段的中点与的中点连成的线段D线段的中点与的中点连成的线段分析：由三垂线定理知：线段与、都垂直,则过点A且垂直于的平面为,因此,因此答案应选A .11.四棱锥中
11、,底面ABCD为梯形,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是 B A. 圆B. 不完整的圆C. 抛物线D. 抛物线的一部分12.已知正方体的棱长为1,点P是平面AC内的动点,若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离,则动点P的轨迹所在的曲线是 BA. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线简析：如图4,以A为原点,AB为x轴、AD为y轴,建立平面直角坐标系。设Px,y,作于E、于F,连结EF,易知又作于N,则。依题意,即,化简得故动点P的轨迹为双曲线,选B。学会用模型化观点解决立体几何问题一长方体模型长方体中是长方体的对角线,它有几个结论：体对角线长是：体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别
12、为,则考虑四面体是对棱长分别相等的四面体,即,对棱长分别是.例：某四面体异面对棱的棱长分别相等,分别是,求四面体的体积.分析：做起来很简单,只要把这个四面体嵌入到棱长分别为的长方体中,如图,由把看作三个元,解这个三元方程组得：这样都可以用这个四面体的对棱长来表达.四面的体积长方体的体积4个三棱锥的体积所以.四面体中异面对棱长分别为的四面体的体积的算法嵌入法.这种方法叫做嵌入法,嵌入的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体,而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用.例:如图,三棱锥中,在内,求的度数.分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体,长方体的三个面与三棱锥的三个面是吻合的,这样PM是这个长方体的对角线.根据,可得,从而.如果在图中随便连MC,解MPC那恐怕不是好办法.这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成功的是把长方体嵌到三棱锥里面去,而这个三棱锥是一个大长方体的一个角,以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥是完全可能的.二直角四面体模型在三棱锥中,且. 以P为公共点的三个面两两垂直；ABC是锐角三角形证明：设ABC中.所以为锐角,同理也为锐角.P在底面ABC的射影是ABC的垂心三棱锥的高
