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1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 函数单调性之分类讨论函数单调性之分类讨论 一、思维导图一、思维导图 含参函数单调性的讨论 函数单调性判断导数正负数轴标根函数形式含分式函数形式二次函数形式一次函数形式求导数求定义域、e、x54321 单调区间数轴标根单调区间数轴标根)(0)(0)(:) 1 (kbxkkbxkbkxxf、 )(000000)()()(:)2(2121212xxxxaaaxxxxaxfcbxaxxf、或比较两根大小单调区间数轴标根单调区间数轴标根不能判断则或一次函数讨论式讨论参数因式分解 二次式讨论一次式讨论讨论含分式的式子不用管一般情况下分母通分)()()()()(
2、: ) 3(0 xgbaxxgxfxf，、 根据参数分类讨论形式根据参数分类讨论形式注的式子含提取因式分解)()()()()0:)()(: )4(baxexfbeaexfeexfx、exx、xx、x 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 二、例题精析二、例题精析 例题例题 1 1、讨论函数axxxf ln)(的单调性。 解析解析 定义域：), 0( 函数的导数：xaxaxxf、11)( 当0a时，01)(xxf、，故)(xf在), 0( 上单调递增； 当0a时，, 01)(xaxxf、故)(xf在), 0( 上单调递增； 当0a时，令, 0)(xf、得：,1ax 故)(xf在)1, 0
3、(a上单调递增； 在),1(a上单调递减； 例题例题 2 2、已知函数)0( ,) 1(21ln)(2axaaxxxf， （1）讨论)(xf的单调性； 解析解析 定义域：), 0( 函数的导数：xaxxaxxaaxaaxxxf、)1)(1(1) 1(11)(2 22) 1(1)(4) 1(aaa 0时，即1a时， 故)(xf在), 0( 单调递增， 0时，axx1, 121，比较两根大小情况， 21xx 时，即01a时， 故)(xf在),1(),1 , 0(a单调递增， 在)1, 1 (a单调递减， 21xx 时，即1a或0a， 当1a时， 故)(xf在), 1 (),1, 0(a单调递增，在
4、) 1 ,1(a单调递减， 当0a时， 故)(xf在) 1 , 0(单调递增，在), 1 ( 单调递减， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 例题例题 3 3、 （2017 全国卷 1 理 21）已知函数xeaaexfxx)2()(2 （1）讨论( )f x的单调性； 解析解析 ：定义域：(,) ， 函数的导数： 222111xxxxfxaeaeaee 因为, 01xe所以只讨论1xae的符号， 当，a时00)(xf、，故)(xf在(,) 上单调递减。 当，a时0令0)(xf、得,1lnax 即：)1ln,(ax时，0)(xf、， ),1(lnax时，0)(xf、，故)(xf在)1l
5、n,(a上单调递减，在),1(lna上单调递增， 三、练习巩固三、练习巩固 1、 （2017 全国卷 3 文 21）已知函数xaaxxxf) 12(ln)(2 （1）讨论)(xf的单调性 解析解析：定义域（0，+ ） ， 函数的导数：xaxxaaxxxf、) 12)(1(1221)( 当0a时，0)(xf、，故)(xf在（0，+ ）上单调递增。 当0a时，分子=,21, 10) 12)(1(21axxaxx且21xx ， 故f（x）在单调递增，在单调递减. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 2、 （2016 四川高考理数 21）,ln)(2xaaxxf其中,Ra （1）讨论)(xf
6、的单调性 解析解析 定义域：), 0( 函数的导数：xaxxaxxf、1212)(2 当，a时00)(xf、，故)(xf在), 0( 上单调递减。 当0a时，分子=,21,21012212axaxax且21xx ， 即：)21, 0(ax时，0)(xf、，),21(ax时，0)(xf、，故)(xf在)21, 0(a上单调递减，在),21(a上单调递增， 3、（2014 湖南高考）已知常数 a0，函数 f(x)ln(1ax)2xx2. （1）讨论 f(x)在区间(0，)上的单调性； 解析解析 ), 0( x 函数的导数：222)2)(1 () 1(4)2(2)2(211)(xaxaaxxxxax
7、xf、 当1a时，, 0)(xf、故)(xf在), 0( 上单调递增。 当10a时，令, 0)(xf、得,121aax,122aax ),12(),12,(aaaax时，, 0)(xf、)12 , 0(aax时，, 0)(xf、 故)(xf在)12 , 0(aax上单调递减，),12(aax上单调递增。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 4、 （2016 北京模拟理数）已知函数)( , 11ln)(Raxaaxxxf （1）当21a时，讨论)(xf的单调性。 解析解析 定义域：), 0( 函数的导数：2222) 1)(1(111)(xaaxxxaxaxxaaxxf、 22) 12(
8、) 1()(41aaa 当0a时，21)(xxxf、， 故)(xf在) 1 , 0(上单调递减， 在), 1 ( 上单调增。 0时，21a， ，0)(xf、，故)(xf在), 0( 上单调递减。 0时，aaxx1, 121，比较两根大小： 21021axx， ),1() 1 , 0(aax或时，0)(xf、，)1, 1 (aax时， 0)(xf、，故)(xf在),1(),1 , 0(aa上单调递减，在)1, 1 (aa上单调递增。 )(21, 021舍或 aaxx， ) 1 , 0(x时，0)(xf、，), 1 ( x时， 0)(xf、，故)(xf在) 1 , 0(上单调递减，在), 1 (
9、上单调递增。 综上所述：当0a 时，( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增； 当12a 时，( )f x在(0,)单调递减； 当102a时，( )f x在(0,1)递减,1(1,1)a递增,1(1,)a递减. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 5、 （2014全国卷）已知函数) 1( ,) 1ln()(aaxaxxxf (1)讨论)(xf的单调性； 解析解析 定义域：), 1( 函数的导数：22)(1()2()(axxaaxxxf、 2222)2(014)2(aaaa 0时， 即)(02舍或 aa时， 0)(xf、， 故)(xf在), 1(单调递增。 0时，, 01x,
10、222aax比较两根大小情况： 21xx 时，即21a时， )2, 1(2aax，), 0( 时，0)(xf、 )0 ,2(2aax时，0)(xf、。 故)(xf在)2, 1(2aa ，), 0( 上单调递增；在)0 ,2(2aa 上单调递减。 21xx 时，即2a时， )0 , 1(x，),2(2 aa时，0)(xf、 )2, 0(2aax时，0)(xf、。 故)(xf在)0 , 1(，),2(2 aa上单调递增；在)2, 0(2aa 上单调递减。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 6、已知函数Raxaxxxf),1ln(21)(2， （1）讨论)(xf单调区间； 解析解析 定义
11、域：), 1( 函数的导数：1)1(1)(2xaaxxxxaxaxxf、 当0a时，1)(xxxf、，故)(xf在)0 , 1(单调递减，在), 0( 单调递减， 41)(4)(22aaa，aaxx1, 021，比较两根大小情况： 21xx 时，即10a时， 故)(xf在),1(),0 , 1(aa单调递减， 在)1, 0(aa单调递增。 21xx 时，即1a或0a时， 当1a时， 故)(xf在), 0(),1, 1(aa单调递减，在)0 ,1(aa单调递增。 当0a时， 故)(xf在), 0( 单调递增，在)0 , 1(单调递减。 当1a时，01)(2xxxf、，故)(xf在), 1(单调递
12、减。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 7、 （2016 北京理数）已知函数)0( ,2) 1ln()(2kxkxxxf （1）讨论)(xf的单调性； 解析解析 定义域：), 1( 函数的导数：1) 1(1) 1()(2xkkxxxxkkxxf、 当0k时，1)(xxxf、，故)(xf在)0 , 1(上单调递增，在), 0( 上单调递减。 22) 1(04) 1(kkk 0时，即1k时， 0)(xf、，故)(xf), 1(上单调递增。 0时，即3223220kk或时， kkxx1, 021，比较两根大小情况 当21xx 时，即10k时， ，故)(xf在),1(),0 , 1(kk上
13、单调递增， 在)1, 0(kk上单调递减。 当21xx 时，即1k时， ，故)(xf在), 0(),1, 1(kk上单调递增， 在)0 ,1(kk上单调递减。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 8、已知函数)0( ,) 1ln()(2aaxxaxxf， （1）讨论)(xf的单调性； 解析解析 定义域：),1(a 函数的导数：1)22(21)2(2)(222axaaxaxaxxaaxxf、 2222)2(024)2(aaa 0时，即2a时， 故)(xf在),22(单调递增， 0时，aaxx22, 0221，比较两根大小情况， 21xx 时，即2a时， 故)(xf在),22(),0 ,
14、1(2aaa单调递增， )(xf在)22, 0(2aa 单调递减， 21xx 时，即20a时， 故)(xf在), 0(),22,1(2aaa单调递增， )(xf在)0 ,22(2aa 单调递减， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 9、已知函数Raaaxexfx),1(2)(2 （1）讨论)(xf的单调性； 解析解析 定义域：R 函数的导数：) 12(21221) 1(21)(22aaxaxeaxeaaxexfxxx、 因为, 021xe所以只讨论122aaxax的符号即可， 当0a时，, 021)(x、exf故)(xf在 R 上单调递减； aaaa4) 1()(4)2(2 当0时，
15、即0a，同上； 当0时，即0a， 故)(xf在 R 上单调递减； 当0时，即0a，ax111ax11,1，又知21xx ， 故)(xf在),11 ,(a),11 (a上单调递增，在)11 ,11 (aa上单调递减。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 10、 （2018 全国卷 1 理 21）已知函数xaxxxfln1)( （1）讨论)(xf的单调性 解析解析 ：定义域为), 0( ， 函数的导数为222111)(xaxxxaxxf、 讨论参数符号情况： 当0a时，01)(22xxxf、，)(xf在), 0( 单调递减。 当0a时，01)(22xaxxxf、，)(xf在), 0( 单
16、调递减。 当0a时，无法判断)(xf、符号 讨论根的判别式情况4114)(22aa 当20a时，0， 0)(xf、，)(xf在), 0( 单调递减。 当2a时，24, 021aax，2422aax 讨论两根大小情况：21xx )(xf在),24, 0(2aa),24(2aa单调递减，在)24,24(22aaaa单调递增。 综上所述：当2a时，)(xf在), 0( 上单调递减。 当2a时，)(xf在),24, 0(2aa),24(2aa单调递减， 在)24,24(22aaaa单调递增。 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 11、 （2017 全国卷 1 文 21）已知函数xaaeexfxx2)()( （1）讨论)(xf的单调性 解析解析 函数( )f x的定义域：(,) ， 函数的导数：22( )2ee(2e)(e)xxxxfxaaaa， 当0a时，2( )exf x ，在(,) 单调递增 当0a时，, 02aex讨论aex的符号，则由( )0fx得lnxa 当(,ln )xa 时，( )0fx；当(ln ,)xa时，( )0fx， 故( )f x在(,ln )a单调递减，在(
