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1、考研数学（一）第二部分线性代数章节练习（下）（江南博哥）第4节 线性方程组第五节 特征值与特征向量第六节 二次型第四节 线性方程组1单选题设A是n阶矩阵，对方程组()Ax=0和()ATAx=0，必有（）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解正确答案：A参考解析：由Ax=0，得ATAx=AT(Ax)=0，故Ax=0的解释ATAx=0的解，反之，若x是ATAx=0的解，令Ax=b，则bT=(Ax)T=xTAT，从而bTb=xTATAx=0，于是b的各分量
2、的平方和为0，故b=0，从而Ax=0，因此ATAx=0的解释Ax=0的解。2单选题设AT=(1，2，n-1)是n(n-1)矩阵，r(AT)=n-1，1，2是与1，2，n-1都正交的两个不同的n维列向量，k是任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）A.k(1-2)B.k(1+2)C.k1D.k2正确答案：A参考解析：由已知，r(A)-r(AT)=n-1，Ax=0的基础解 系有n-r(A)=1个向量3单选题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组()Anx=0和()An+1x=0，现有四个命题()的解必是()的解；()的解必是()的解；()的解不是()的解；()的解不是()的解.以上命题中正确的是A.B.
3、C.D.正确答案：A参考解析：4单选题已知1，2，3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则Ax=0的基础解系还可以是A.与1，2，3等价的向量组B.1-2，2-3，3-1C.与1，2，3等秩的向量组D.1，1+2，1+2+3正确答案：D参考解析：5单选题设A，B是满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关正确答案：A参考解析：设A，B分别为mn及ns矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)n，因为A，B为非零矩阵，
4、所以r(A)1，r(B)1，从而r(A)n，r(B)n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，A正确6单选题设n阶矩阵A的伴随矩阵A*O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解1，2，则下列命题正确的是()A.AX=b的通解为k11+k22B.1+2为AX=b的解C.方程组AX=0的通解为k(1-2)D.AX=b的通解为k11+k22+0.5(1+2)正确答案：C参考解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)n，又因为A*O，所以r(A)=n-1，2-1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，C正确。7单选题设A为mn阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()A.
5、r(A)=mB.r(A)=nC.A为可逆矩阵D.r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示正确答案：D参考解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D)8单选题设n(2)为正整数，A是(n-1)n矩阵，划去A的第j列后构成的n-1阶行列式记为aj，令bj=(-1)j-1aj(j=1，2，n)则对于一元齐次线性方程组Ax=0，下列结论一定正确的是()A.向量a1，a2，anT是Ax=0的一个解B.向量b1，b2，bnT是Ax=0的一个解C.向量a1，a2，anT是Ax=0的一个基础解系D.向量
6、b1，b2，bnT是Ax=0的一个基础解系正确答案：B参考解析：9单选题齐次线性方程组的系数矩阵为A，若存在3阶矩阵BO，使得AB=O，则()A.=-2且|B|=0B.=-2且|B|0C.=1且|B|=0D.=1且|B|0正确答案：C参考解析：10单选题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组()Anx=0和()An+1x=0，现有命题()的解必是()的解；()的解必是()的解；()的解不一定是()的解；()的解不一定是()的解其中正确的是()A.B.C.D.正确答案：B参考解析：当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(I)的解必是(II)的解，也即正确，不正确。当An+1=0时，假设
7、Anx0，则有x，Ax，.，Anx均不为零向量，可以证明这种情况下，x，Ax，.，Anx是线性无关的(按定义证明，依次左乘An，An-1，.，A即可证得)，由于x，Ax，.，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量必定是线性相关的，矛盾 ，故假设不成立，因此必有Anx=0，可知(II)的解必是(I)的解，故正确，不正确。选B。11单选题已知1，2，r(r3)是Ax=0的基础解系，则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是()A.B.C.1，2，r的一个等价向量组D.1，2，r的一个等秩向量组正确答案：B参考解析：12填空题参考解析：【解析】13填空题参考解析：-5或-6【解析】14填空题设A为n阶矩
8、阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n-1，则方程组AX=0的通解为参考解析：15填空题设A为n阶矩阵，且|A|=0，Aki0，则AX=0的通解为_参考解析：16填空题参考解析：17填空题参考解析：18填空题已知1，2，3是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若向量组1=22-3，2=1-2+3，2=1+2同为该方程组的一个基础解系，则t_参考解析：1【解析】19填空题参考解析：【解析】20填空题若方程组与方程组同解，则a=_参考解析：1【解析】对于方程组()，其系数行列式21填空题参考解析：k-1，1，0T，k为任意常数【解析】由于A为43矩阵，AB=O且BO，可知r(A)3，对A作初等行变换
9、22填空题参考解析：1【解析】23填空题与1=1，2，3，-1T，2=0，1，1，2T，3=2，1，3，0T都正交的单位向量是_参考解析：【解析】24简答题解?当有无穷多解时，求其通解参考解析：已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵，可以通过行列式讨论参数A，确定其解的情况25简答题()求方程组与的基础解系；()求方程组与的非零公共解参考解析：()()26简答题设有方程组()求方程组的通解；()当a，b，c为何值时，方程组与同解参考解析：()对的增广矩阵作初等行变换，()将方程组的通解x1=-2+k，x2=-4+k，x3=-5+2k，x4=k代入方程组的第一个方程，得(-2+k)+a(-4+k)-(
10、-5+2k)-k=-5，由k的任意性，可得a=2同样将的通解 代入的第二个方程，得6(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11，解 得b=4将的通解 代入中的第三个方程，得(-5+2k)-2k=-c+1，解 得c=6，故方程组为与的通解 相同综上所述，当a=2，b=4，c=6时，方程组与同解 27简答题设A是54矩阵，r(A)=2，已知1，2，3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且1+2=(4，6，-8，4)T，3=(1，2，-1，1)T，又(0，1，-3，0)T是Ax=0的解，求Ax=b的通解参考解析：28简答题已知A(1，1)，B(2，2)，c(a，1)为坐标平面上的点，其中a为参数
11、，问是否存在经过点A，B，C的曲线y=k1x+k2x2+k3x3? 如果存在，求出曲线方程.参考解析：(1)当a0，a1，a2时，方程组有唯一解(2)当a=1时，点A，C重合，此时(3)当a=0或a=2时，r(A)=2，r(A，b)=3，方程组无解此时不存在满足题中要求的曲线29简答题设方程组(1)当a为何值时方程组有解?并求其通解.(2)求方程组满足x1=x2的所有解.参考解析：(1)对增广矩阵作初等行变换，有(2)当a=-8时，如x1=x2，有30简答题求方程组AX=0的通解参考解析：(1)(2)当k=9时，r(B)=1，1r(A)2，31简答题已知4阶方阵A=1，2，3，4，1，2，3，
12、4均为4维列向量，其中2，3，4线性无关，1=22-3，如果=1+2+3+4，求线性方程组Ax=的通解参考解析：方法一32简答题(1)确定矩阵A*和A的秩；(2)讨论线性方程组Ax=0的基础解系由多少个线性无关解向量构成? 并给出该方程组的通解参考解析：(1)由(2)由(1)知r(A)=2线性方程组Ax=0的基础解系由3-2=1个线性无关的解向量构成又由AA*=|A|E=O知，A*的列向量组均为方程组Ax=0的解向量，因此，取非零列向量=1，-1，3T，即可构成Ax=0的一个基础解系，通解为c=c1，-1，3T，其中c为任意常数第五节 特征值与特征向量1单选题设=2是矩阵A的一个特征值，且|A|0，则(A2/3)-1有一个特征值为（）A.4/3B.3/4C.1/2D.1/4正确答案：B参考解析：(A2/3)-1=3(A-1)2，由已知A有特征值=2，故A-1的特征值1/2，(A-1)2的特征值1/4，故所求特征值为3/4。2单选题设矩阵A与B相似，则必有（）A.矩阵E-A与E-B相等B.A，B同时可逆或不可逆C.A和B有相同的特征向量D.A和B均与同一个对角矩阵相似正确答案：B参考解析：由AB，知|A|=|B|，故|A|=|B|0或|A|=|B|=0，即A，B同时可逆或不可逆3单选题A.B.C.D.正确答案：C参考解析：4单选题A.B.C.D
