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1、2020年湖南省长沙市第三十中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，在上有零点的函数是A BC D参考答案：D2. 在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A5 B10C15 D20参考答案：B3. “x3”是“|x3|0”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件参考答案：C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：不等式的解法及应用分析：由题意看命题“x3”与命题“|x3|0”是否能互推
2、，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断解答：解：对于“x3”?“|x3|0”；反之“|x3|0”?“x3”一定成立，因此“x3”是“|x3|0”的充分必要条件，故选C.点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度4. 下列命题中真命题的个数是（1）若命题中有一个是假命题，则是真命题（2）在中，“”是“”的必要不充分条件（3）表示复数集，则有A0 B1 C2 D3参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】C 解析：命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C【思路点拨】根据pq，p的
3、真假和p，q真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可判断这几个命题的真假5. 九章算术中记载了一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（ ）立方寸（314）A12656B13667C11414D14354参考答案：A由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得：立方寸故选A6. 已知则的值为 A B C D参考答案：A7. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A. B. C. D.参考答案：C略8. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是A BC D参考答案：D在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量
4、有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类变量关系越强，故选D9. （文）设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是 .参考答案：10. sin300等于（）ABCD参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】计算题【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果【解答】解：sin300=sin（36060）=sin60=故选A【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x+2y+3z=2，则x2+y2+z2的最小值是 参考答案：考点：二维形式的柯西不等
5、式 专题：不等式的解法及应用分析：由条件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值解答：解：12+22+32=14，由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）（x+2y+3z）2=4，x2+y2+z2=，即x2+y2+z2的最小值是 ，故答案为：点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）（x+2y+3z）2，进行解决12. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅
6、要求在直线上），公共设施边界为曲线 的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M、N，切曲线于点P，设 ( I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)； (II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值参考答案：解：（），直线的斜率为，直线的方程为令得 3分令,得, 的面积, 6分（）,因为,由,得, 9分当时, ,当时, . 已知在处, ,故有，故当时, 略13. 参考答案：略14. 设实数满足不等式，若的最大值为1，则常数的取值范围是 。参考答案：15. 若向量，则 参考答案：16. 已知，且，则的最大值为 参考答案：1；17. 已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于
7、1的点的个数为，则 参考答案：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知向量=，且 （1）若，求的范围 （2）函数+，若对任意，恒有，求的取值范围参考答案：解析(1)(2)故，t419. 在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M（1）求： ?的值；（2）证明：为定值参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质【分析】（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去求出A、B的坐标之间的关系，即可得到?的值；（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求
8、出M的坐标，再代入整理即可得到答案【解答】解：（1）设焦点F（0，1），x1x2=4y1y2=1=3（定值）（2）抛物线方程为y=x过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=即y=0 （定值）20. （本小题满分13分）在中,角所对的边分别为,已知, .(I)求的值;(II)求的值.参考答案：（）3；（）.试题分析：（）由已知可得，从而可求出的值，再由正弦定理可得，代入即得a的值；（）由已知及（）可求得、的值，再由三角形内角和定理可知，利用余弦的和角公式即可求得的值试题解析： (I)在中,因为,所以,即, .2分所以.4分 .5分由正弦定理,得. .7分(II)因为,即,所以为钝角,为锐角.由(I
9、)可知,所以. .9分又, .10分所以 .11分 . 12分 .13分考点：1. 正弦定理；2. 三角恒等变换.21. 已知公差不为零的等差数列an中，且，成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）记数列的前n项和Sn，求Sn.参考答案：（1）（2）22. 已知数列的前项和满足：，又设，（）求数列和的通项公式；（）若，且恒成立，求和常数的范围；（）证明：对任意的，不等式.参考答案：（）an=Sn-3n=2n，bn=1+2log2an=1+2n（）m5（）略（）Sn+1=2Sn+3n，Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），又s1-31=2，数列Sn-3n是首项为2，公比为2的等比数列，Sn-3n=2n，Sn=3n+2n，an=Sn-3n=2n，bn=1+2log2an=1+2n（）Tn=b1a1+b2a2+bnan=3?2+5?22+（2n-1）?2n-1+（2n+1）?2n，2Tn=3?22+5?23+（2n-1）?2n+（2n+1）?2n+1-Tn=6+2（22+23+2n）-（2n+1）?2n+1=6+2-（2n+1）?2n+1=-1+（1-2n）?2n+1，Tn=1+（2n-1）?2n+1Tn=1+（2n-1）?2n+15，要使Tnm恒成立，只需m5即可（）bn=1+2n=+=,略
