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1、2020-2021学年江西省九江市职业中等专业学校高二数学理月考试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知为虚数单位,为实数,复数在复平面内对应的点为,则“”是“点在第四象限”的( )A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A2. 设等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则=( )A2BCD3参考答案:B【考点】等比数列的前n项和【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程,并解得q3,然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案【解答】解:设公比为q,则=1+q3=3,
2、所以q3=2,所以=故选B【点评】本题考查等比数列前n项和公式3. 用反证法证明“如果,那么”时,反证假设的内容应是( ) A. B. C.或 D. 且参考答案:C4. 设定点,动点P满足条件,则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段参考答案:D略5. 设函数y=f(x)为R上的可导函数,当x 时, ,则关于x的方程的根的个数为 A0B1C2D0或2参考答案:A6. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则、的值分别为( )A. 2,5 B. 5,5 C. 5,8 D. 8,
3、8参考答案:C略7. 在用数学归纳法证明时,在验证当时,等式左边为A. 1 B. C. D. 参考答案:C8. 设点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案:B【分析】求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围,再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率,求出倾斜角的取值范围【详解】或则角的取值范围为故选B.9. 已知直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=m+5(mR),其倾斜角为,则实数m的值为()A B-1 C D或-1参考答案:A10. 函数的极大值是( )A. 2 B. C. 2和 D. 不存在参考答案:B二、
4、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆x2+ky2=3k(k0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是参考答案:【考点】圆锥曲线的共同特征;椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先将椭圆方程转化为标准方程,由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上,从而确定a2,b2,再由“c2=a2b2”建立k的方程求解,最后求得该椭圆的离心率【解答】解:抛物线y2=12x的焦点(3,0)方程可化为焦点(3,0)在x轴上,a2=3k,b2=3,又c2=a2b2=9,a2=12,解得:k=4=故答案为:【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及性质,在研
5、究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解题12. 椭圆的两焦点,点P在椭圆上,若的面积最大为12,则椭圆方程为 参考答案:13. 设,且,则的最小值是 参考答案:3略14. 已知数列an满足3an+1+an=4(nN*),且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是_. 参考答案:7略15. 椭圆的焦点坐标为_参考答案:试题分析:由题意得,椭圆,可化为,所以,所以椭圆的焦点坐标分别为考点:椭圆的标准方程及其几何性质16. 抛物线= 8的弦AB轴,且4,则AB到焦点的距离是_参考答案:117. 函数(其中,e为自然对数的底数),使得直线为函数f(x)的一条切线;对
6、,函数f(x)的导函数无零点;对,函数f(x)总存在零点;则上述结论正确的是_(写出所有正确的结论的序号)参考答案:【分析】设切点坐标为,根据题意得出,求得该方程组的一组解可判断命题的正误;利用导函数的符号可判断命题的正误;利用零点存在定理可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于,设切点坐标为,由于直线为曲线的一条切线,则,所以,满足方程组,所以,使得直线为函数的一条切线,命题正确;对于,当时,对任意的,即函数无零点,命题正确;对于,当时,函数在上单调递增,当时,因此,对,函数总存在零点,命题正确.故答案为:.【点睛】本题考查与导数相关命题真假的判断,涉及直线与函数图象相切的问题,函数零点问
7、题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知复数(m为实数,i为虚数单位) 1.当m为何值时,复数z为纯虚数 2.若复数z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围参考答案:略19. 如图,曲线由曲线C1:和曲线C2:组成,其中点F1,F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点,点F3,F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点,(1)若F2(2,0),F3(6,0),求曲线的方程;(2)如图,作直线l平行于曲线C2的渐近线,交曲线C1于点A、B,求证:弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线
8、,若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D,求CDF1面积的最大值参考答案:【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】(1)由F2(2,0),F3(6,0),可得,解出即可;(2)曲线C2的渐近线为,如图,设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),设直线l:y=,与椭圆方程联立化为2x22mx+(m2a2)=0,利用0,根与系数的关系、中点坐标公式,只要证明,即可(3)由(1)知,曲线C1:,点F4(6,0)设直线l1的方程为x=ny+6(n0)与椭圆方程联立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解
9、答】(1)解:F2(2,0),F3(6,0),解得,则曲线的方程为和(2)证明:曲线C2的渐近线为,如图,设直线l:y=,则,化为2x22mx+(m2a2)=0,=4m28(m2a2)0,解得又由数形结合知设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=m,x1x2=,=,即点M在直线y=上(3)由(1)知,曲线C1:,点F4(6,0)设直线l1的方程为x=ny+6(n0),化为(5+4n2)y2+48ny+64=0,=(48n)2464(5+4n2)0,化为n21设C(x3,y3),D(x4,y4),|y3y4|=,=,令t=0,n2=t2+1,=,当且仅当t=,即n
10、=时等号成立n=时, =20. 在ABC中,已知B=45,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长参考答案:【考点】余弦定理;正弦定理【分析】先根据余弦定理求出ADC的值,即可得到ADB的值,最后根据正弦定理可得答案【解答】解:在ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cosADC=,ADC=120,ADB=60在ABD中,AD=10,B=45,ADB=60,由正弦定理得,AB=【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用属基础题21. 已知椭圆+=1(ab0)经过点(0,1),离心率为,点O为坐标原点()求椭圆E的标准方程;()设不与坐标轴平行的直线l
11、1:y=kx+m与椭圆交于A,B两点,与x轴交于点P,设线段AB中点为M (i)证明:直线OM的斜率与直线l1的斜率之积为定值; (ii)如图,当m=k时,过点M作垂直于l1的直线l2,交x轴于点Q,求的取值范围参考答案:【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】()由已知得b=1,e=,由此能求出椭圆E的标准方程()(i)将直线y=kx+m代入,得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,由此利用韦达定理、斜率公式能证明直线OM的斜率与直线l1的斜率之积为定值(ii)当m=k时,直线l1:y=k(x1),P(1,0),从而M(,),直线l2方
12、程为y=,从而|PQ|=,由此利用弦长公式能求出的取值范围【解答】解:()椭圆+=1(ab0)经过点(0,1),离心率为,点O为坐标原点,b=1,e=,解得a2=4,椭圆E的标准方程为+y2=1证明:()(i)将直线y=kx+m代入,整理,得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,M(,),=?k=解:(ii)当m=k时,由(i)知直线l1:y=k(x1),P(1,0),M(,),直线l2方程为y=,令y=0,得x=,Q(,0),|PQ|=|1|=,又|AB|=|x2x1|=,=4=4,k0,133,的取值范围是(4,4)【点评】本题考查椭圆方程的
13、求法,考查两直线的斜率之积为定值的证明,考查两线段比值的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意弦长公式的合理运用22. 已知一动圆M,恒过点F,且总与直线相切,()求动圆圆心M的轨迹C的方程;()探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.参考答案:解: (1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为(2) 假设存在在上,则, 所以,直线AB的方程:,即 即AB的方程为:,即 即:,令,得, 所以直线AB过定点(4,0) ( 本题设直线代入,利用韦达定理亦可)。略