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1、2.3函数的函数的单调性性授课教师:刘新景1.请画出函数请画出函数y=x+2与与y=-x+2的图象，并观察函数的图象，并观察函数图象的特征图象的特征.y0xy0x2-222一、课题导入一、课题导入:2.请观察函数请观察函数y=x2和和y=x3的图象，并回答在下列情的图象，并回答在下列情 况下况下y的变化情况的变化情况:(1)在在y轴左侧当轴左侧当x逐渐增大时。逐渐增大时。 (2)在在y轴右侧当轴右侧当x逐渐增大时。逐渐增大时。 下面我们以二次函数下面我们以二次函数 f(x) = x2 为为例例进行研究进行研究 OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy函数函数f(x)在给定区间在给
2、定区间上为增函数。上为增函数。Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？函数函数f(x)在给定区间在给定区间上为减函数。上为减函数。Oxy y = f(x) x1 x2f(x1) f(x2)x1 f(x2)一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数 一、函数单调性定义一、函数单调
3、性定义1增函数增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数减函数2减函数减函数判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）对于二次函数f(x)=x2,因为-1,2 R且-12,此时有f(-1)f(2),所以函数在R上是增函数。提问：你认为定义中的关键词语是什么？提问：你认为定义中的关键词语是什么？答：定义域，区间，任意，都有。答：定义域，区间，任意，都有。二二函数的单调性定义函数的单调性定义:如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函在某个区间上是增函数或是减
4、函数，那么就说函数数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格在这一区间具有（严格的）的）单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间. 例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2),1,3)是减函数，是减函数，在区间在区间-2,1),3,5上是增函数。上是增函数。证明：设证明：设x1,x2是是R上的任意两个实数上的任意两个实数,且且x1x2,f(x1)-
5、f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)例2:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.由x1x得得xx于是f(x1)f(x2）即f(x1)f(x2）所以， f(x1)x在上是增函数在上是增函数证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：第一步：第一步：取值取值.即任取区间内的两个值，且即任取区间内的两个值，且x1x2第二步：第二步：作差变形作差变形.将将f(x1)f(x2)通过因式分解、通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。方向变形。第三步：第三步：定号定号.确定差的符号，适当的时候需要进确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。行讨论。第四步：第四步：判断判断.根据定义作出结论。根据定义作出结论。取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断小结：小结：1函数单调性的概念，注意其中的关键词函数单调性的概念，注意其中的关键词2定义法证明函数单调性的步骤。定义法证明函数单调性的步骤。3掌握数形结合的方法。掌握数形结合的方法。作业：作业：书书P0习题习题. 1 1（1 1），），4 4（2 2），），6 6（1 1） 人生应该有明确的奋斗目标！
