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1、2022年河北省保定市综合高级中学高一数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数y=（sinx+cosx）（sinxcosx）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象( )A关于原点对称B关于y轴对称C关于点（，0）对称D关于直线x=对称参考答案：A【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】计算题【分析】利用平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简，根据左加右减求出g（x）的解析式，由正弦函数的对称性进行判断【解答】解：y=（sinx+cosx）（sinxcos
2、x）=sin2xcos2x=cos2x，则由题意知，g（x）=cos2（x+）=sin2x，即g（x）的图象关于原点对称故选A【点评】本题考查了复合三角函数图象的变换，根据平方差公式和二倍角公式对解析式进行化简，由条件和正弦函数的性质进行判断，考查了分析问题和解决问题的能力2. 已知AB为圆的一条弦，为等边三角形，则的最大值为（ ）A. B. 6C. 4D. 参考答案：A【分析】根据图形的对称性可得出，运用正弦定理得出，从而可得的最大值.【详解】解：因为为圆的一条弦，为等边三角形，所以的垂直平分线经过点O、P，如图所示所以，在中，,即，故，故当，所以本题选A.【点睛】本题考查了直线与圆相交的问
3、题、正弦定理解决三角形的边长问题，解题的关键是要有转化问题的意识.3. 函数的图象大致是 参考答案：A4. 设全集为R,( )参考答案：A略5. 7在ABC中，若，则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B 等腰直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形参考答案：D略6. 函数的图像关于 ( )（A）轴对称 （B）直线 （C）坐标原点对称 （D）直线参考答案：C略7. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解】sinAcosB4sin
4、CcosAsinBcosA即sinAcosB+sinBcosA4cosAsinCsinC4cosAsinC0C，sinC014cosA，即cosA，那么故选C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题8. 已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A3a0B3a2Ca2Da0参考答案：B【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=x2ax5，h（x）=，则可知函数g（x）在x1时单调递增，函数h（x）在（1，+）单调递增，且g（1）h（1），从而可求【解答】解：函数是R上的增函数设g（x）=x
5、2ax5（x1），h（x）=（x1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=x2ax5在（，1单调递增，函数h（x）=在（1，+）单调递增，且g（1）h（1）解可得，3a2故选B9. 已知角的正弦线和余弦线长度相等，且的终边在第二象限，则=（ ）A1 B C D 参考答案：A10. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 A. 4B. 2C. D. 参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，且2x8yxy0，则xy的最小值为_参考答案：18 12. 已知，且，则的值是_参考答案：解析： 13. 已知，且向量的夹角为120，则_参考答案：6【分析】根据数量积的定义
6、即求.【详解】,且向量的夹角为120，.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.14. 若f（x）+3f（x）=log2（x+3），则f（1）=参考答案：【考点】函数的值【分析】由已知条件联立方程组求出f（x）= 3log2（3x）log2（x+3），由此能求出f（1）【解答】解：f（x）+3f（x）=log2（x+3），f（x）+3f（x）=log2（3x），3，得：8f（x）=3log2（3x）log3（x+3），f（x）= 3log2（3x）log2（x+3），f（1）=（3log22log24）=故答案为：15. 的单调递增区间是参考答案：16. 若，则的值为参考答案
7、：17. 若为锐角，且则sin的值为_参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数 f（x）=4x24ax+（a22a+2）（1）若a=1，求f（x）在闭区间0，2上的值域；（2）若f（x）在闭区间0，2上有最小值3，求实数a的值参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域；二次函数的性质 【专题】分类讨论；函数的性质及应用【分析】（1）求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到值域；（2）将f（x）配方，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得a的值【解答】解：（1），x=时，取得最小
8、值0，x=2时，取得最大值9，f（x）在闭区间0，2上的值域为0，9；（2）f（x）=4（x）2+22a当0即a0时，f（x）min=f（0）=a22a+2=3，解得：a=1；02即0a4时，f（x）min=f（）=22a=3，解得：a=（舍）；2即a4时，f（x）min=f（2）=a210a+18=3，解得：a=5+综上可知：a的值为1或5+【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题19. 已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（3，1），离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示
9、的矩形，A，B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点若P，Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为P1、Q1，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、0B的斜率之积，试问四边形PQP1Q1的面积是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由（0为坐标原点）参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=2，y=2，A（2，2），B（2，2），可得kOA?kOB=，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用椭圆方程，求得x12+x22=12，讨论若x1=x2，若x1x2，运用
10、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，以及椭圆的对称性，计算即可得到所求面积为定值【解答】解：（1）由e=，可得=1e2=，即a2=3b2，又+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=2，y=2，A（2，2），B（2，2），可得kOA?kOB=，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=，|PQ|=，由P，Q在椭圆上，可得y12=4（1），y22=4（1），由x12x22=9y12y22=（12x12）（12x22），即有x12+x22=12，若x1=x2，则P，P1，Q，Q1分别是直线OA，OB与椭圆的交点，四个点的坐标为（，），（，），（，）
11、，（，），四边形PQP1Q1的面积为8；若x1x2，则直线PQ：yy1=（xx1），化为（y2y1）x（x2x1）y+x2y1x1y2=0，则O到直线PQ的距离为d=，即有OPQ的面积为S=|PQ|?d=|x1y2x2y1|=2，由椭圆的对称性可得，四边形PQP1Q1的面积为4S=8综上可得，四边形PQP1Q1的面积定值820. 问：是否存在函数满足 参考答案：解析：存在函数，满足要求. 5分 10分 所以15分 解得 所以是满足条件的函数.20分21. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成
12、绩的中位数是83.（1）求和的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考答案：(1)76,81,81,83,91,91,96得y=83(2)22. （12分）医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%（） 为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到
13、天）（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）天数x病毒细胞总数y11223448516632764参考答案：考点：指数函数综合题 专题：计算题；应用题分析：（）由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y=2x1（其中xN*），解不等式由2x1108，即可求得结果；（）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2262%，则再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2262%2x，由题意解不等式2262%2x108，即可求得结果解答：（）由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y=2x1（其中xN*），（3分）则由2x1108，两边取常用对数得（x1）lg28，从而（6分）即第一次最迟应在第27天注射该种药物（7分）（）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2262%，（8分）再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2262%2x，（10分）由题意2262%2x108，（11分）两边取常用对数得26lg2+lg22+xlg28，解得x6.2（13分）故再经过6天必须注射药
