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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第四章数列一、学问导学4.1 等差数列的通项与求和1. 数列：按肯定次序排成的一列数叫做数列.2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2 项，第n 项，.3. 通项公式：一般地，假如数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列 : 项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列 : 项数无限的数列叫做无穷数列6. 数列的递推公式：假如已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式
2、来表示，就这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a 2, 然后用递推关系逐一写出数列中的项.7. 等差数列 : 一般地，假如一个数列从其次项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 表示8. 等差中项 : 假如，这三个数成等差数列，那么叫做和的等差中项 二、疑难学问abab我们把221. 数列的概念应留意几点：（1）数列中的数是按肯定的次序排列的，假如组成的数相同而排列次序不同，就就是不同的数列；（ 2）同一数列中可以显现多个相同的数；（ 3）数列看做一个定义域为正
3、整数集或其有限子集 1， 2， 3， n 的函数 .2. 一个数列的通项公式通常不是唯独的.S1n1,3. 数列 an的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系：an如 a1 适合SnSn 1n2.ann2,就 an 不用分段形式表示，切不行不求a1 而直接求an.4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a 1+n-1d=d n+ a 1-d, an 是关于 n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an ）匀称排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.25、对等差数列的前n 项之和公式的懂得：等差数列的前n 项之和公式可变形为Snd
4、2na12d n ，如令 A2d ， B a1 d ，就22Sn An +Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1， an， d， Sn，n 中任意三个，可求其余两个；三、经典例题 例 1 已知数列1，4，7，10， 3n+7, 其中后一项比前一项大3. （ 1）指出这个数列的通项公式；（ 2）指出 1+4+（3n 5）是该数列的前几项之和.错解：（ 1）an=3n+7; 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 1+4+（ 3n 5）是该数列的前n 项之和 .错因：误把最终一项
5、 （含 n 的代数式） 看成了数列的通项.（ 1）如令 n=1,a 1=101, 明显 3n+7不是它的通项 .正解：（ 1）an=3n 2;2 1+4+（ 3n 5）是该数列的前n1 项的和 . 例 2已知数列an的前 n 项之和为Sn2n 2nSnn2n1求数列an的通项公式；错解 ： an2n2n2n12n14n3ann 2n1 n1 2n112n错因：在对数列概念的懂得上，仅留意了an Sn Sn-1 与的关系，没留意a1=S1.正解 ：当 n1 时，a1S11当 n2 时， an2n2n2n12n14n3经检验n1时a11 也适合，an4n3当 n1 时，a1S13当 n2 时， a
6、nn2n1n1 2n112nan3n12n n2 例 3已知等差数列an的前 n 项之和记为Sn， S10=10 ，S30 =70，就 S40 等于；错解 ： S30= S 10 2d.d 30，S 40= S 30+d =100.错因：将等差数列中Sm, S 2m Sm, S 3m S2m 成等差数列误会为Sm, S 2m, S 3m成等差数列 .正解 ：由题意：10a1109 d 210得 a12 , d230a13029 d702515代入得 S40 40a14039240d120 ； 例 4 等差数列an、Snbn的前 n 项和为 Sn、Tn. 如Tn7n1 n4n27N , 求 a7
7、 ；b7错解 ：由于等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令an=7n+1;b n=4n+27. 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -a777110b7472711Sna n错因：误认为Tnbna7正解 ：b7a7a7b7b7S13 T137131924132779 例 5 已知一个等差数列an的通项公式an=25 5n，求数列| an |的前 n 项和；错解： 由 an0 得 n5an前 5 项为非负，从第6 项起为负，Sn=a1 +a2+a3+a4+a5=50n5当
8、n6 时， Sn= a6+ a7 + a8 +an 205 n n5 2S n=50205n n 25 ,n5n6错因：一、把n5 懂得为 n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n6 起”的和 .正解 ：n4525n,n5205n n5250 ,n6 例 6 已知一个等差数列的前10 项的和是310，前 20 项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解： 理由如下：由题设：S10310S20122010a1得：20a145d 190d3101220a14d6Sn4nnn1623n 2n 例 7 已知： an1024lg 21 n（ lg 20.3010 ） nN（ 1） 问前多
9、少项之和为最大？（ 2）前多少项之和的肯定值最小？解 ：（ 1 ）an10241n lg 201024n102413401n3403an 1 n34021024n lg 20lg 2lg 2 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）Sn1024nnn21 lg 20当 Sn0或Sn 近于 0 时其和肯定值最小令： Sn0即 1024+nn21 lg 20得： n20481lg 26804.992nN n6805 例 8 项数是2n 的等差数列， 中间两项为an和an1 是方程
10、xpxq0 的两根， 求证此数列的和S2n是方程lg 2 xlg n2lg p 2 lg xlg nlg p 20的根；（S2n0 ）证明： 依题意 anan 1p a1a2 nanan 1p S2n2na12a2 n np lg 2 xlg n 2lg p2 lg xlg nlg p 20lg xlg np20 xnpS2 n（获证）；四、典型习题1已知 a13且anSn 12 n ，求an 及Sn ；nn1n122设 an122334nn1) ，求证：2a n；23. 求和 :111211231123n4. 求和：1002992 982972 4232 2212 5. 已知a,b,c 依次成等差数列，求证：a 2bc,b 2ac, c 2ab 依次成等差数列.6. 在等差数列an中，a5a1340 ，就a8a9a10（）；A 72B 60C 48D367. 已知an是等差数列，且满意amn, anmmn ，就 amn 等于 ；8. 已知数列1an2成等差数列，且a31
