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1、xx最新的高中函数的学习方法 函数概念的教学到底应当依照怎样的模式?目前国际上比拟流行的有三种数学学习理论，它们试图描述如何学习数学概念，已经被应用到函数的学习上。 1.Gagne(1970)的累积式数学学习理论，它是奠基在行为主义框架内的。他认为，学习能够引起行为的改变，改变是可见的，因而是可测量的。所以，学过课题X的证据是能够完成一组与X有关的任务。他把课题X分解成子课题并把子课题分解成它的先决条件(pre-requisite)。对于每个子课题都有一组任务，它们都能用作掌握该子课题的证据。先决条件树伸展、继续伸展直到能够假设对一特定水平的一切任务都在学习者的知识根底之内。这就是说，Gagn
2、e建立了一个任务的等级制度(hierarchy)，必须通过它一步步去掌握一个特定的课题。当然，这种等级制度和真实的学习并不完全符合。低层次的学习是否一定导致下一阶段的学习还需要更多的证据，另外，把学习任务分得过细有导致低水平细节干扰知识整体把握的危险，“见木不见林”。 奥苏伯尔有“逐渐分化”、“综合贯穿”和“提供先行组织者”的教学策略。 2.Schoenfeld等认为，知识的获得必须通过四种水平的理解： 水平1 关系到在模式水平上知识的宏观构造。例如，在直线方程L：y=mx+b中理解m和b分别表示斜率和y-截距。 水平2 知识要素的详细界定、特例分析以及对某些限制条件等对知识的细节处理。例如，
3、如果m0，直线上升，如果|m|大，直线陡，点(0，b)是直线的y-截距，等等。 水平3 和支持知识的上层构造有关系对知识联系性的处理。比方认清过两点的直线斜率：(y2-y1)/(x2x1)、能够考虑作两个有向线段之比和认清在y=mx+b中当x=0时就得到它的y-截距。 水平4 是在超出熟悉情境和个体建构在水平3上看到的概念要素的时候知识综合的、创造性的应用。 要深刻理解任何一个课题都必须通过这些水平。 这个理论描述的学习过程显然是从整体到细节分化，再到综合应用的路线。这个理论对学习过程的理解仍然处于“外部描述”。 3.Dubinsky的学习理论使皮亚杰理论的各方面适合去掌握数学概念。每个个体通
4、过反映性抽象构建他自己的数学知识。这个理论关心这一途径：过程内化成常规，浓缩成概念， (一个程序跟另一个程序)协调，(反向进展)逆和在更广的范围内一般化。 Dubinsky相信，个体的数学知识和他对所见问题情境的反响倾向有关，他将根据自己对问题情境的解释，通过(重)建(新)模式去处理这种情境。学习是有情节的。他分析这种情节并给这门学科局部指令去产生他发生分解，然后研究发生分解如何和学生的模式严密配合。 在这些理论之间有明显的相似性。每一种理论都有把学科分解成学习序列的倾向。在序列中，Schoenfeld和Dubinsky试图确定分解的内容和学生头脑中的认知构造变化之间的严密程度(数学知识构造与
5、学生头脑中的认知构造之间的对应关系)。特别地，Dubinsky的公式证明是特别适合于函数概念的，因为函数是(输入输 出)过程和数学对象的统一体，对象必须作为概念实体来对待。所以把函数过程浓缩为数学对象的技术似乎和函数概念的开展完全匹配。Dubinsky通过使学生集中到用适宜的语言(它允许把函数或它们的符号用作对象)编制函数程序的过程上，用浓缩过程取得了某种成功。 但此中出现了一个大问题，Dubinsky(1988)是这样说明的： 如果是这种情况，那么就很难描绘如何用一般术语进展学习。知识的状态能够观察到，但是从一种状态到另一种状态的实际运动就不能了。如Sinclaire(1987)所述，学习发
6、生，但是当观察其开展时，必须满足于在较高的但是固定的状态上去看它，由于它的复杂性不可能去观察连续的开展。只可能去推测学生通过在其口头或书面交流中唤醒的概念映象的概念化的认知构造。所以我们怎么才能够确切地知道学生有了和函数定义相关的、与过程性函数概念相反的抽象函数概念呢?过程性函数概念能够处理在像特定函数的编程这样的给定情境中的所有任务。 开展Gagne式的等级制度和发生分解的“完善构造”的主要问题是它们能够搞得非常复杂。对于甚至是最简单的任务必须掌握的先决条件的清单可能搞得非常庞大;课题搞得过分原子化全部似乎比它的局部之和大得多。在Gagne的等级制度中，各分步之间是相互割裂的，在许多情况下似
7、乎都是孤立技巧的汇总。简言之，虽然有水准基点，从它能够测量一个人的函数知识，但是内容描绘的是其知识的特定状态。虽然一种特殊词汇似乎正按Schoenfeld等和Dubinsky的方式开展来用更一般的术语讨论学习，但是注意力主要集中在情节学习和给学生对函数概念有困难的个别细节处理上。我们很少知道为什么产生这些问题，我们也不知道如何保证消除毛病。 下面看对函数概念内涵要素的理解中的根本问题。 三、变量 全面理解变量的内涵并不容易。虽然它是数学中一切抽象事物的建筑材料，但是许多学生不知道它的意义。例如，以下情况大家可能经历过：先让学生解一个以x为变量的方程;再让学生去解只改变变量名称(如以y为变量名)
8、的“新”方程。尽管在学生面前有原问题的解，但还是会有相当数量的学生仍然从头开始，甚至局部高中学生也有类似的情况。这些学生把变量名字的改变看作产生了一个全新的问题，先前的解答过程并迁移到当前的情景中来。为什么没有出现迁移，特别是对“变量”这种具有一般意义的根本思想方法?这是一个非常值得研究的问题。请大家考虑一下，为什么变量概念的理解存在如此大的困难? 在教学实践中，教师常常对变量概念的理解困难估计缺乏，有的老师甚至从来就没有考虑过这个问题，实际做法是教师仅仅给出变量(因变量、自变量等)这个词汇，仅此而已，至于学生脑子中的变量概念会是怎样的，通过定义能否使变量概念得到开展，这些很少顾及。大家不妨以
9、“你认为什么叫变量”为题，问问学生。实际上，变量概念的学习并不象我们在黑板上写定义这么简单。“学生考虑作概念的例子的一组数学对象不必和由定义确定的一组数学对象一样”，更加严重的问题是，对“变量”这样抽象的概念如果得不到恰当的详细例子的支持，学生将无法真正理解它。对于这一点，已经理解了变量概念的老师似乎很少注意它。 教师常常被“自动化”阻塞了顿悟的通道，“掌握一种活动如此完善以至如何和为什么的问题(学生尚不理解它们)不再问，不再把它理解为有意义和有关系的问题了”。教师往往按照自己的理解水平进展教学。 例如，三角函数中的任意角概念，许多老师可能会想，我用一个教具，顺时针转转再逆时针转转，学生就理解
10、了什么叫“任意角”，没有遇到什么困难呀。真的这样吗?我们认为，是否真正理解，还是要看学生能否在后续学习中自觉地应用“任意角”这个概念。大家可以回忆一下，学生掌握三角函数诱导公式、两角和与差的三角函数等内容时所出现的问题到底是怎样产生的。(书中42页到43页) 四、函数、图象和形象化 虽然大多数学生能够作简单的图象，但是他们常常把函数图象看成为函数之外的东西，没有把它当成函数的一个有机组成局部来对待。更有甚者，他们可能错误地对待他们自己画的函数图象上的数据。实际上，数学学习中，“画个直观图形”是非常重要的。例如： 角为100，34，46的三角形的外接圆半径为8.5cm，求内切圆的半径。 解这个题
11、目时，画出草图对解答会有很大帮助。但许多学生草图画得不正确，而且再也不用它。 另一些问题：求过点(5，5)与圆相切的切线方程; 求直线切于x=3时的a和b的值; 解不等式：，等等。 这些问题的解答，相当多的学生都用解析方法，而没有把它们与图形表示联系起来。数与形式数学的两方面，有了直角坐标系以后，数与形统一了，因此，用图象方法看函数的许多方面(各种性质)似乎很自然。但是对学生来说情况并非如此。他们好似只靠解析地处理信息和解练习题，而不靠形象的方法。所以，要使学生把函数与图象自觉地联系起来，把函数的图象作为函数概念的一个有机组成局部并不容易。实际上，学生的形象化意识(数形结合思想)的形成需要很长
12、的过程。 教学实践说明，许多学生不会用图象来解释问题，而且即使他们画出了图象，也不能正确地解释图象，即他们不理解图象描绘的自变量和因变量之间的关系。例如，对于不等式|x|1的解，学生能够用实数轴上的图形(一维)加以解释，但要求他们在直角坐标系内用图形来表示，很多学生会感到困难。另一个例子是，解一元二次不等式，很多学生习惯于转化为，然后按照两个因式同号的方法来转化。再如，学生很不习惯把函数变换等与图形变换(如轴对称、中心对称等)联系起来。 中学的函数概念开展需要形象化的支持，开展学生数形结合的能力是开展函数概念、获得对函数概念的深刻理解的重要途径，作为代数的函数概念与作为几何的函数图像的严密结合
13、也是开展关于函数的认知构造的主要途径。通过强调函数的形象表示可以减少函数概念的学习困难。另外，直观和形象化技能也是可以训练的。 五、抽象、符号和焦虑 函数及其相应的子概念具有抽象的各种程度。随机地翻开任何一本数学杂志或者教科书，数学符号和公式会随处可见。学生常常会浏览这一页看看符号和公式是否熟悉。如果其中有许多是他们不认识的，那么他们的脑子里立即会蹦出一个字：难!他们会想，需要花多少时间和精力才能理解所写的是什么呀!这会引起学生的焦虑。而且这种感受在我们的学生中比拟普遍。我们知道，学生对数学内容的这种感觉主要是因为数学语言与他们熟悉的日常语言之间的差异很大，数学语言具有最大的抽象性，抽象是数学
14、研究的一切。这种抽象性和它在课堂里的快速推进常常是造成许多学生数学学习失败的主要原因。虽然抽象有层次性，例如函数概念就可以在各种不同的抽象水平得到表述。但是，对于自己已经熟悉了的内容，教师经常不去分水平，“这还不容易吗”是我们经常听到的。例如，“两角和与差的三角函数”中，得到再求，需要用一个同余变换，老师常常认为这是非常容易的，但从我的实践看，情况并非如此。心理学的研究说明，教师在教学中出现的这种情况比拟普遍，他们已经掌握这个课题并且也期望他们的学生及时这样做。实际上，教师水平的上下、功夫深浅的标志之一就是能否“从学生的角度看问题”，这也是对学生的要求把握在一个怎样的“度”上的问题。“欲速那么
15、不达”是常识，但在实践中却很难把握。更加值得注意的问题是，如果数学教师把那种“这太容易了”的意思通过某种方式(常常在无意时下，在不经意之间)传达给学生，而学生又确实感到不容易时，那么学生会放弃努力，在开始学习之前就泄气了。心理学把学生出现的这种情绪叫做数学恐惧症或焦虑，而且这是数学学习失败的原因之一，即在很多情况下，学习失败是感情(情绪)原因而不是认知原因。当然，数学焦虑不仅是学生的事情，数学教师甚至数学家也有他感觉不舒服的数学领域。 虽然数学焦虑是多方面的，但符号的复杂性常常是理解函数概念的障碍。符号问题过去不太被注意，现在国外有专门的论述，把它称为“数学表示”符号困难在初等数学的每个地方都
16、潜伏着。在函数概念的学习中，符号引起的学习困难常常表现在如下的一些方面： 1.所造成的理解困难。 我们知道，它表示的是这样的一个“过程”与“结果”的统一体：x在函数f下的对应值为y，而且这里的f必须是一个映射，这个符号的内涵非常丰富，而且也非常复杂。实际上，许多学生在高中毕业了也没有真正搞明白到底是个什么。在我们的教科书中，映射被表示成f：AB，它抓住了映射的动态的一面。如果学生能够把函数真正理解为一种特殊的映射(非常遗憾，许多学生并不这样看)，那会有利于全面而深刻地理解函数，并对后续的学习也有好的作用。例如，它有利于理解复合函数，而且它还能够帮助学生进一步理解自变量概念。这样，学生在讨论函数的单调性问题就会减少一些困难。再如，那么使的x值是多少?许多学生解这个问题的时会出
