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1、重要极限证明第1篇：重要极限的证明 1.求证：sin(/(2n+1)sin(2/(2n+1)sin(3/(2n+1)sin(n/(2n+1)=(2n +1)/2n, Sol:复数方法： 复数方程 z(2n1)1的根是 a1，a2，a3，.，a(2n)，1。 其中，akcos(2k/(2n+1)i sin(2k/(2n+1)，k1，2，.，2n。 所以，ak(a1)k 所以，z(2n1)1(za1)(za2).(za(2n)(z1)，即 (za1)(za2).(za(2n)(z(2n1)1)/(z1)z(2n)z(2n1).z1。 两边令z1，并取模，则： |1a1|1a2|.|1a2n|2n1
2、.（*) 因为，|1ak|(cos(2k/(2n+1)1)i sin(2k/(2n+1)|2sin(k/(2n+1)，所以由(*)式得： 2nsin(/(2n+1)sin(2/(2n+1)sin(3/(2n+1)sin(n/(2n+1)2n1。 所以，sin(/(2n+1)sin(2/(2n+1)sin(3/(2n+1)sin(n/(2n+1)(2n1)/2n 2.三角函数 求证：sin(/(2n+1)sin(2/(2n+1)sin(3/(2n+1)sin(n/(2n+1)=(2n +1)/2n. 证:sin(/(2n+1)sin(2/(2n+1)sin(3/(2n+1).sin(n/(2n+
3、1)=(2n +1)/2n 设Z=cos2/(2n+1)+ isin2/(2n+1) 则x(2n+1)=1的根为1,z,.z2n 得x2n+.+x+1=(x-z)(x-z2).(x-z2n) 2n+1=(1-z)(1-z2).(1-z2n).(1) 又(1-zk)=2sink/(2n+1).(2) |1-zk| = |1-(cos(2k/(2n+1) +sin(2k/(2n+1) )| =|1-cos(2k/(2n+1) -sin(2k/(2n+1) )| =(1-2cos(2k/(2n+1) +cos2 (2k/(2n+1) + sin2 (2k/(2n+1) =(2-2cos(2k/(2n
4、+1) ) =(4sin2(k/(2n+1) =2sin(k/(2n+1) 故 2n+1 =( n(/(2n+1).n(2/(2n+1) n(3/(2n+1).n(2n/(2n+1) 两边开方,得 sin(/(2n+1)sin(2/(2n+1)sin(3/(2n+1).sin(n/(2n+1) =(2n+1) / 2n 另外那个类似,可以尝试自己证一下. 3.为什么sinn+sin2n.+sin(n-1)n=cot2n? 解：2 sin (2n)sin(n)= cos n -(2n)- cos n +(2n)= cos (2n)- cos 3(2n)2 sin (2n)sin(2n)= cos
5、 2n -(2n)- cos 2n+(2n)= cos 3(2n)- cos 5(2n)2 sin (2n)sin(3n)= cos 3n -(2n)- cos 3n +(2n)= cos 5(2n)- cos 7(2n)2 sin (2n)sin(n-1)n= cos (n-1)n -(2n)- cos (n-1)n +(2n)= cos (2n-3）(2n)- cos (2n-1)(2n) 故：2 sin (2n) sin(n)+sin(2n)+.+sin(n-1)n= cos (2n)- cos (2n-1)(2n)= cos (2n)- cos -(2n)=2 cos (2n) 故：s
6、in(n)+sin(2n)+.+sin(n-1)n= cos(2n)/ sin (2n)= cot (2n) 4.级数sin n/(n+1)收敛还是发散,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛,为什么? Sol:收敛,Dirichlet判别法.这是最典型的一个用Dirichlet判别法判别收敛的例子.sinn的部分和sin1/2(sin1+sin2+.+sinn)/sin1/2（积化和差公式）cos1/2-cos(2n+1)/2)/sin1/2,于是有界,1/(n+1)单调递减趋于0,收敛.不绝对收敛.|sinn/(n+1)|=sin2n/(n+1)=1-cos(2n)/2(n+1).类似用Diri
7、chlet判别法知道级数cos2n/(n+1)收敛,但级数1/(n+1)发散,于是易知不绝对收敛.建议记住这个典型例子. onlncn+lnc1n+.+lncn求lim=I.2xn2nnlnonlncn+lnc1+.+lncn=nln2-lnn=ln2-1lnnnnsol: n2n2nnI=ln2 5.求sin/n*sin2/n*sin(n-1)/n的值,用复数思想 6.三角函数连乘(正弦)求证：sin/(2n+1)*sin2/(2n+1)*sin3/(2n+1)*sinn/(2n+1)=(根号下2n-1)/2n Sol: 7.证一般项级数sin(n2+1)条件收敛 Sol:sin(n+1)
8、=(-1)nsin(n+1)-n =(-1)nsin(n+1)-n =(-1)nsin1/(n+1)+n lim(n)sin1/(n+1)+n/(1/n) =lim(n)n/(n+1)+n =/2 sin1/(n+1)+n与1/n有相同的敛散性,即sin1/(n+1)+n发散 lim(n)sin1/(n+1)+n=0,且sin1/(n+1)+1+(n+1)sin1/(n+1)+n 由莱布尼兹判别法知lim(-1)nsin1/(n+1)+n收敛 原级数条件收敛 其他回答:sin(n2+1)=(-1)n sin(n2+1)+n) 再利用分子有理化可得：(-1)n sin(/根号(n2+1)+n)
9、利用 Dirichlet判别法可知级数收敛。 而它的绝对值级数可以等价为：sin(/根号(n2+1)+n)/根号(n2+1)+n1/n即发散。 9.Sin(/n) sin(2/n) sin(3/n) sin(n-1)/n=n2(1-n) 这等式怎么证?大概要从哪个方面入手? sin(/n) sin(2/n) sin(3/n) sin(n-1)/n=n2(1-n) 用复数 w=cos(2/n)+isin(2/n) w=cos(2/n)-isin(2/n) zn=1 (z-1)(z(n-1)+z(n-2)z+1)=0 z(n-1)+z(n-2)z+1=(z-w)(z-w2)(z-w3)（z-w(n
10、-1)） 令 z=1 n(1-w)(1-w2)(1-w3)(1-w(n-1)） 1-wk=2sink/n(sink/n+icosk/n) |1-wk|=|2sink/n(sink/n+icosk/n)|=|2sink/n|(sink/n+icosk/n)|=|2sink/n|=2sin(k/n) 取模 |n|(1-w)(1-w2)(1-w3)(1-w(n-1)| |n|(1-w)|(1-w2)|(1-w3)|(1-w(n-1)| n=2(n-1)sin(/n)sin(2/n)sin(n-1)/n 得证 第2篇：两个重要极限的证明 两个重要极限的证明 两个重要极限的证明 那么，数列 的极限存在，
11、且 。 证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即 ，对 ，当 时，有 ，即 ，又因为 ，所以当 时，有 ， 即有： ，即 ，所以 。 准则I如果函数 满足下列条件： 当 时，有 。 当 时，有 。 那么当 时， 的极限存在，且等于 。 如果数列 满足： ，就称之为单调增加数列;若满足： ，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果 ，使得： ，就称数列 为有上界;若 ，使得： ，就称 有下界。 准则：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则，可
12、推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】 二、课堂练习： 三、布置作业： 附送： “富民惠民安民”民生观心得体会 “富民惠民安民”民生观心得体会 总理报告凸显“富民惠民安民”民生观： 3月5日9时，十一届全国人大一次会议在人民大会堂开幕，国务院总理温家宝作政府工作报告。报告强调要更加注重社会建设，着力保障和改善民生，安排和部署了今年保障和改善民生的各项工作。报告虽然没有对保障和改善民生问题做更多的理论阐述，但审视改善民生的总体安排和具体政策措施，人们不难体会到报告凸显了“富民惠民安民”的民生观，深化了我们对民生问题的认识，是贯彻科学发展观、自觉走科学发展道
13、路的生动体现。 富民实现全体人民的富裕幸福，是们建设社会主义的根本目的。富民是改善民生的首义，是社会主义的本质要求。报告提出要调整国民收入分配格局，深化收入分配制度改革，逐步提高居民收入在国民收入分配中的比重，提高劳动报酬在初次分配中的比重。 今年国家将进一步落实支农惠农政策，加强农业基础建设，促进农业发展和农民增收。必须清醒地看到，我国农业基础薄弱、农村发展滞后的局面尚未改变，农民持续增收的难度加大。富民的重点、难点在“富农”，没有广大农民的富裕就不会有全省乃至全国人民的富裕。因此，必须强化强农惠农政策，不断加大科 技投入，推进农业产业化经营，大力发展乡镇企业，多渠道转移农民就业，推进城乡一体化进程，促进农民持续增收。 建立企业职工工资正常增长机制和支付保障机制，体现了发展依靠人民，发展为了人民，发展成果由人民共享的思想。从需求结构，也就是投资、消费和出口的比例关系来看，近年来我国宏观经济的突出矛盾是，投资、
