《全国通用2021高考数学一轮复习第五章数列热点专题突破三数列的综合问题习题理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用2021高考数学一轮复习第五章数列热点专题突破三数列的综合问题习题理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点专题突破三数列的综合问题1.公差d0的等差数列an中,a1=2,a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)数列bn满足an=+,求数列bn的通项公式.1.【解析】(1)因为a1,a2,a4成等比数列,所以(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d=a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)因为an=+,所以an-1=+.-得an-an-1= (n2),即bn=2(2n+1)=2n+1+2(n2),当n=1时,b1=6适合上式,所以bn=2n+1+2.2.数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1,数列bn为等差数列,且b3=3,b5=7.(1
2、)求数列an,bn的通项公式;(2)若对任意的nN*,kbn恒成立,求实数k的取值范围.2.【解析】(1)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1,-得an+1-an=2(Sn-Sn-1),an+1=3an(n2).又a2=3,a1=1也满足上式,an=3n-1.由b5-b3=2d=6,可得d=3,bn=3+(n-3)3=3n-6.(2)Sn=,k3n-6对nN*恒成立,k对nN*恒成立.令cn=,cn-cn-1=,当n3时,cncn-1,当n4时,cn0,q=2,an=a1qn-1=2n.又a1a2a3an= (nN*),bn=.(2)由cn=-2,得Sn=c1+c2+cn=+-21-
3、+=-21-=-1.4.已知数列an中,a1=1,an=-,n2,且bn=an+,数列bn的前n项和为Sn.(1)求证:数列bn是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若对任意nN*,pSn-q,求q-p的最小值.4.【解析】(1)因为bn+1=an+1+=-=-an+=-bn,又b1=a1+0,所以数列bn是等比数列.因为bn=b1,所以an=bn-.(2)由(1)可知Sn=1-,当n为奇数时,Sn=1+;当n为偶数时,Sn=1-.因为函数y=x-在(0,+)上单调递增,所以Sn-的取值范围是.所以p-,q,所以q-p,即q-p的最小值是.5.已知各项均为正数的数列an满足+anan+1,
4、且a2+a4=2a3+4,其中nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn= (nN*),若存在正整数m,n(1m0,所以有an+1-2an=0,即an+1=2an,所以数列an是公比为2的等比数列,由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n(nN*).(2)bn=,若b1,bm,bn成等比数列,则,即3m2+n(2m2-4m-1)=0.因为1mn,所以2m2-4m-10,解得1-m1,所以m=2,此时n=12.6.(2015长沙长郡中学等十三校第二次联考)已知正项数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足an= (n2
5、).(1)求证: 为等差数列,并求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,求实数a的取值范围.6.【解析】(1)当n2时,an=,Sn-Sn-1=,即=1,数列是首项为1,公差为1的等差数列,故=n,故an=n+(n-1)=2n-1(n2),当n=1时也成立;an=2n-1.(2),Tn=,又4Tn0,则xen+1-n.所以fn(x)在(-n,en+1-n)内单调递增,在(en+1-n,+)上单调递减.所以当x=en+1-n时,fn(x)max=fn(en+1-n)=,即an=,则Sn=.(2)因为n1,所以en+1单调递增,n(n+1)
6、单调递增,所以an=单调递减.所以00;又g(1)=1+a,所以g(x)(a,1+a,由已知得(a,1+a,所以所以a0.(3) +fn(en)-an=ln+ln .令t=,h(x)= (x1),h(x)=0,所以h(x)在1,+)上单调递减.所以10,所以r(t)r(1)=0,所以0,所以+fn(en)an.8.(2015广东高考)数列an满足:a1+2a2+nan=4-,nN*.(1)求a3的值;(2)求数列an的前n项和Tn;(3)令b1=a1,bn=an(n2),证明:数列bn的前n项和Sn满足Sn2+2ln n.8.【解析】(1)依题意有a1+2a2+nan=4-,nN*,当n2时,
7、有a1+2a2+(n-1)an-1=4-,两式相减得nan=-,即an=,n2.且n=1时,a1=1也满足通项公式,综上得an=,nN*.则a3=.(2)由(1)知Tn=2-.(3)由(2)得Tn=2-,当n2时,bn=an= (a1+a2+an-1)+ an=a1+a2+an-1+an,所以Sn=b1+b2+bn=a1+a1+a2+1+a3+a1+a2+an-1+an=a1+a2+1+an= (a1+a2+an)=Tn=,下面证明+0,则F(x)= 0,即F(x)在(0,+)上单调递增,故F(x)=ln(1+x)- F(0)=0,即对于(0,+),恒有ln(1+x),令x=,有ln,即ln+.故ln n+.故Sn=21+2(1+ln n)=2+2ln n.9
