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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -一填空题（共 40 分）1N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，假如每个粒子的自由度为r ，系统的自由度为（Nr）；系统的状态可以用（2Nr）维空间中的 一个代表点表示；2 对于处于平稳态的孤立系统，假如系统全部可能的微观状态数为， 就每一微观状态显现的概率为（1/ .），系统的熵为（ kln.）；3玻色统计与费米统计的区分在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容 原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必需满意0 fs 1 ；- 4玻色系统和费米系统在满意 （ 经典极限条件 或 e1）条件时，可以使用玻尔兹曼统
2、计；dU5lal dll dall给出内能变化的两个缘由， 其中（l dal）l项描述传热，（al dll）项描述做功；6对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 上升 ）；假如温度足够低， 就会发生（ 玻色爱因斯坦凝结 ）；这时系统的能量 U0（ 0），压强 p0（ 0），熵 S0（ 0）；7 已 知 粒 子 遵 从 经 典 玻 尔 兹 曼 分 布 ， 其 能 量 表 达 式 为xy1 p 2p22m2pz ax2bx， 粒 子 的 平 均 能 量 为 （ 2kT b2/4a）；8当温度（很低 ）或粒子数密度（很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强；9假如系统的分布函数
3、为s，系统在量子态s 的能量为 Es，用 s 和 Es表 示 ： 系 统 的 平 均 能 量 为 （Es Ess）， 能 量 涨 落 为（s EssE 2）（如写成 E 2E 2 也得分）；10与宏观平稳态对应的是稳固系综，稳固系综的分布函数 s 具有特点（ d s /dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分），同时 s 也满意归一化条件；二运算证明题（每题10 分，共 60 分） 1假定某种类型分子（设粒子可以辨论）的许可能及为0， 2，3，；， 而且都是非简并的，假如系统含有6 个分子，问：（ 1）与总能量 3 相联系的分布是什么样的分布？分布需要满意的条件是什么？（ 2）依据公式alN
4、.al . l lal 运算每种分布的微观态数. ；（ 3）确定各种分布的概率；解：能级： 1， 2， 3， 4，能量值：0， ， 2 ， 3， 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -简并度：1， 1 ， 1 ， 1 ，分布数：a1, a2,a3, a4,分 布 al要满意的条件为：alN6lallE3l满意上述条件的分布有：A：al5,0,0,1,0,.B：al4,1,1,0,0,.C：al3,3,0,0,0,.各分布对应的微观态数为：6.16;A5.1.6.B130;4.1. 1.
5、C6.1203.3.全部分布总的微观态数为：ABC6302056各分布对应的概率为：pAApBBpCC/6 / 560.107;/30 / 560.536;/20 / 560.357;2表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看 作二维抱负气体，设粒子的质量为m，总粒子数为 N；（ 1）求单粒子的配分函数Z1；（ 2）在平稳态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x 到 xdx， y 到 y dy 内，动量在 px 到 pxdpx ， py 到 py dpy 内的分子数 dN；（ 3）写出分子按速度的分布；xy（ 4）写出分子按速率的分布；1解：（ 1）单粒子的配分函数z12h2e
6、2 m pxpy2 dxdydp dpA 2h2mkT （ 2） dNe dxdydpxdpyNdxdydpx dpye1h2Zh2（ 3）将（ 1）代入（ 2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为mm22dN rN e2 kT vvdv dvvxyxy2kT（4） 有（3）可得 分子 按速率 的分布 为：2N memv22 kT vdvN m emv22kT vdv2kTkT3定域系含有 N个近独立粒子， 每个粒子有两个非简并能级1 0， 2 0，其中 0 大于零且为外参量y 的函数；求：（ 1）温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明 第 2 页，共 7 页 -
7、- - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -在极端高温顺极端低温时粒子数比的特点；（ 2）系统的内能和热容量；（ 3）极端高温顺极端低温时系统的熵；解：（ 1）单粒子的配分函数为：Z1ee1e2e0e0ll处于基态的粒子数为：N1Ne1e0N;00Z1eeNe0处于激发态的粒子数为：Ne2N;200Z1ee温度为T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：N 2e00e kT0N1e0ekT极端高温时： 0kT， N 2N1态的粒子数基本相同；极端低温时： 0kT， N 2N11 ,即处于激发态的粒子数与处于基0
8、,即粒子几乎全部处于基态；（2）系统的内能：ln Ze0e0UN1Nln e0e0 N000eeU1UN2e0e0热容量： C012VTVkT 2VkT 2e0e0（3）极端高温时系统的熵：Sk lnk ln 2 NNk ln 2极端低温时系统的熵： S=0 4对弱简并的非相对论费米气体，求：（ 1）粒子数分布的零级近似f 0 与一级修正项 f 1 ；（ 2）证明： 与零级近似相比， 粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 e；解：费米气体分布函数为：f1e1（1） ） fe 11ee1eee 22f 0e，f11e 22（2） ） D dCV2d1Nf1D de 22CV2 d1eNf
9、0 D deCV2 dUf1D deUf 0Dd5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n， 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 1）简述：T 0K时电子气体分布的特点， 并说明此时化学势 0 的意义；（ 2）证明： T0K 时电子的平均能量3005，简并压强 p2 n；005fT=0K100（ 3）近似运算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比；（ 1） 0 表示 T0K 时电子的最能量；电子从 0 的能级开头， 先占据低能级，然后占据高能级， 遵从泡利不相容原理
10、；f = 1 002130U0fD d0CV2 d00d30011000(2) NfD dCV2 d2 d5000p2 U2 U N2n2 3n2n00003 V3 N V33 55(3) T0K 时:f1（）； f1 （ ）； f1 （）222T0K 时，只有在 邻近 kT 量级范畴内的电子可跃迁到高能级，对CV有奉献，设这部分电子的数目为Neff ， 就 N effN kT；每一电子对 CV 的贡 献 为3kT/2,就 金 属 中 自 由 电 子 对Cv的 贡 献 为e33kkT3NkkT3NkkT3NkTCVkN ef fN2222kTf2TfCe晶格的热容量为Cv3Nk，V1 T0Tf:104105 CV2 Tf6固体的热运动可以视为3N 个独立简正振动，每个振动具有各自的简UU 0i/ kT正频率 i ，内能的表达式为：ie1 ，式中的求和遍及全部的振动模式，实际运算时需要知道固体振动的频谱；（ 1）写出爱因斯坦模型中采纳的频谱和德拜模型中采纳的频谱，并加以 简洁说明；（ 2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；3（ 3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T ；解：（ 1）爱因斯坦模型：N 个分子的振动简化为3N 同频率（）的简谐振动，每个振子的能级为nn1 h；2德拜模型： N 个分子的振动简化为3N 个简正振动，每个振子的
