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1、湖北省荆门市洋县中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 某次测量发现一组数据具有较强的相关性,并计算得,其中数据因书写不清楚,只记得是0,3上的一个值,则该数据对应的残差(残差=真实值-预测值)的绝对位不大于0.5的概率为( )A. B. C. D. 参考答案:C【分析】求得估计值,用真实值减去估计值求得残差,根据已知残差的绝对位不大于列不等式,解不等式求得的取值范围,根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】依题意可知,估计值为,残差为,依题意得,解得,根据几何概型概率计算公式可得所
2、求概率为,故选C.【点睛】本小题主要考查残差的概念及计算,考查几何概型的计算,属于基础题.2. 设全集,,则( )A. B C D参考答案:C3. 设函数(、为常数)的图象关于直线对称,则有 ( ) A B C D 参考答案:A4. 已知服从正态分布N(,)的随机变量在区间(,),(,),和(,)内取值的概率分别为68.3%,95.4%,和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布(165,52),则适合身高在155175cm范围内的校服大约要定制( )A. 683套 B. 954套 C. 972套 D. 997套参考答案:B略5.
3、给出下列命题:在区间上,函数,中有三个是增函数;若,则;若函数是奇函数,则的图象关于点对称;已知函数则方程 有个实数根,其中正确命题的个数为 (A) (B) (C) (D)参考答案:C在区间上,只有,是增函数,所以错误。由,可得,即,所以,所以正确。正确。当时,由,可知此时有一个实根。当时,由,得,即,所以正确。所以正确命题的个数为3个。选C.6. 参考答案:C7. 已知,则“”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案:A8. (4)下面是关于公差的等差数列的四个命题: 其中的真命题为(A) (B) (C) (D)参考答案:D9. 已知定义在实数
4、集R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x1),且当x0,1时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=|x|在1,2上根的个数是()A2B4C6D8参考答案:B【考点】函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用 【专题】函数的性质及应用【分析】关于x的方程f(x)=|x|在1,2上根的个数,即函数y=f(x)和y=|x|的图象交点的个数,在同一坐标系中画出两个函数的图象,可得答案【解答】解:函数f(x)满足f(x+1)=f(x1),即f(x+2)=f(x),故函数是以2为周期的周期函数,又由函数f(x)为定义在实数集R上的偶函数,且当x0,1时,f(x)=x2,故在1,2上,函数y=f(x)和y
5、=|x|的图象如下所示:由图可知:两个函数的图象共有4个交点,故关于x的方程f(x)=|x|在1,2上有4个根,故选B【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的周期性,函数的零点与方程的根,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于基础题10. “”是“直线与直线互相垂直”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案:A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设等比数列的前项和为,若,则等于 参考答案:85012. 若数列满足:,则前6项的和 .参考答案:6313. 已知函数,若,则_ 参考答案:614. 等比数列
6、中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表中的同一列,则数列的通项公式_. 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818参考答案:15. 已知直线平面,直线在平面内,给出下列四个命题:;,其中真命题的序号是 .参考答案:,略16. 方程在区间内的所有实根之和为 .(符号表示不超过的最大整数)。参考答案:2略17. 设有最小值,则不等式的解集为_. 参考答案:(2,)略三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(,0),(,0),并且经过点(,)(1)求椭圆的标准方程;(2)若斜率为k
7、的直线l经过点(0,2),且与椭圆交于不同的两点A、B,求OAB面积的最大值参考答案:考点: 椭圆的简单性质专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析: (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程,在求a时利用椭圆的定义比较简单;(2)利用弦长公式先求出|AB|,然后利用面积公式构建关于斜率k的函数,通过换元法利用基本不等求OAB面积的最大值解答: 解:(1)设椭圆的标准方程为,由椭圆的定义可得,又,b=1,故椭圆的标准方程为 (2)设直线l的方程为y=kx2,由,得(1+3k2)x212kx+9=0,依题意=36k2360,k21(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,由点到直线的距
8、离公式得, 设,当且仅当时,上式取等号,所以,OAB面积的最大值为点评: 第(1)问用待定系数法求椭圆的方程时,也可以把点代入方程求解,但这种方法计算量大;第(2)问得到的面积表达式比较复杂,当函数表达式比较复杂时,考虑用换元法转化成简单函数,但要注意转化后函数的定义域19. (满分12分)已知的对边分别为.(1)求证:;(2)若,求.参考答案:(1)证明:如图(2分) (4分)即有(6分)(2)由得(9分)由得(11分)解之得或(舍弃) 故(12分)略20. (本小题满分12分)如图(1)所示,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBC1,AD2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点将
9、ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图(2)所示(1)证明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值参考答案:详见解析【知识点】立体几何综合解:(1)证明:在图(1)中,因为ABBC1,AD2,E是AD的中点,BAD,所以BEAC,BECD即在图(2)中,BEOA1,BEOC,又OA1OCO,OA1?平面A1OC,OC?平面A1OC,从而BE平面A1OC又CDBE,所以CD平面A1OC(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1-BE - C的平面角,所以A1OC如图,以O为原点
10、,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为A1BA1EBCED1,BCED,所以B(,0,0)E(,0,0),A1(0,0,),C(0,0)得(,0),(0,)(,0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD的夹角为,则得取n1(1,1,1);得取n2(0,1,1),从而cos |cosn1,n2|,即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为21. (本小题满分12分)为了调查某中学高三学生的身高情况,在该中学随机抽取了40名同学作为样本,测得他们的身高后,画出频率分布直
11、方图如下:()估计该校高三学生的平均身高;()从样本中身高在180cm(含180cm)以上的同学中随机抽取2人,记身高在185cm190cm之间的人数为X,求X的分布列和数学期望参考答案:22. (12分)(2015?河南模拟)如图1所示,直角梯形ABCD,ADC=90,ABCD,AD=CD=AB=2,点E为AC的中点,将ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图2),在图2所示的几何体DABC中(1)求证:BC平面ACD;(2)点F在棱CD上,且满足AD平面BEF,求几何体FBCE的体积参考答案:考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定 专题:空间位置关系与距离;
12、空间角分析:(1)由题意知,AC=BC=2,从而由勾股定理得ACBC,取AC中点E,连接DE,则DEAC,从而ED平面ABC,由此能证明BC平面ACD(2)取DC中点F,连结EF,BF,则EFAD,三棱锥FBCE的高h=BC,SBCE=SACD,由此能求出三棱锥FBCE的体积解答:(1)证明:在图1中,由题意知,AC=BC=2,AC2+BC2=AB2,ACBC取AC中点E,连接DE,则DEAC,又平面ADC平面ABC,且平面ADC平面ABC=AC,DE?平面ACD,从而ED平面ABC,EDBC又ACBC,ACED=E,BC平面ACD(2)解:取DC中点F,连结EF,BF,E是AC中点,EFAD,又EF?平面BEF,AD?平面BEF,AD平面BEF,由(1)知,BC为三棱锥BACD的高,三棱锥FBCE的高h=BC=2=,SBCE=SACD=22=1,所以三棱锥FBCE的体积为:VFBCE=1=点评:本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养