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1、湖北省荆州市荆沙市区马山中学高二数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设集合,A=1,3,5,7,8,B=2,4,6,8,则( )A. 2,4,6,7B. 2,4,5,9C. 2,4,6,8D. 2,4,6参考答案:D【分析】先求出,再求得解.【详解】由题得,所以=.故选:D【点睛】本题主要考查补集和交集的运算,意在考查学生对这种知识的理解掌握水平,属于基础题.2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,其数量之比依次是3:4:7,现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,那
2、么n等于()A50B60C70D80参考答案:C【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义和方法,可得=,由此求得n的值【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,可得=,解得n=70,故选:C3. 点(3,4)关于直线的对称点的坐标为( )A(4,3)B(2,9)C(4,3)D(2,9) 参考答案:D令,设对称点的坐标为,可得的中点在直线上,故可得,又可得的斜率,由垂直关系可得,联立解得,即对称点的坐标为,故选D.4. 已知,且,则等于A3 B C D.参考答案:D5. 参考答案:B6. 函数的定义域是A. (-1,2B. -1,2C. (-1 ,2)D. -1,2)参考答案:A【分析】根据二
3、次根式的性质求出函数的定义域即可【详解】由题意得: 解得:1x2,故函数的定义域是(1,2,故选:A【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题常见的求定义域的类型有:对数,要求真数大于0即可;偶次根式,要求被开方数大于等于0;分式,要求分母不等于0,零次幂,要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.7. 已知两点、,且是与的等差中项,则动点的轨迹方程是( ) AB C D参考答案:C略8. 设双曲的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为A. B. C. D. 参考答案:D试题分析:设该双曲线方程为得点
4、B(0,b),焦点为F(c,0),直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1,建立关于a、b、c的等式,变形整理为关于离心率e的方程,解之即可得到该双曲线的离心率;设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为,焦点为F(c,0),点B(0,b)是虚轴的一个端点,直线FB的斜率为,直线FB与直线互相垂直,双曲线的离心率e1,e=,故选:D考点:双曲线的简单性质9. 若an是等差数列,首项a10,a23+a240,a23?a240,则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A46B47C48D49参考答案:A【考点】等差数列的性质【分析】首先判断出a230,a240,进而a1+a46=a23+a240,
5、所以可得答案【解答】解:an是等差数列,并且a10,a23+a240,a23?a240可知an中,a230,a240,a1+a46=a23+a240故使前n项和Sn0成立的最大自然数n是46,故选A10. 如图,在四面体OABC中,M、N分别在棱OA、BC上,且满足,点G是线段MN的中点,用向量,表示向量应为( )ABCD参考答案:A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则f(6)的值为 参考答案:0【考点】抽象函数及其应用;函数的周期性;函数的值【专题】计算题【分析】由函数f(x)满足f(x+2)=f(x),我们易
6、求出函数的最小正周期为4,结合已知中函数f(x)是定义在R上的奇函数,易根据函数周期性和奇偶性得到f(6)=f(2)=f(2),且f(2)=f(2),进而得到答案【解答】解:因为f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),得出周期为4即f(6)=f(2)=f(2),又因为函数是奇函数f(2)=f(2)=f(2)所以f(2)=0即f(6)=0,【点评】观察本体结构,首先想到周期性,会得到一定数值,但肯定不会得出结果,因为题目条件不会白给,还要合理利用奇函数过原点的性质,做题时把握这一点即可此题目题干简单,所以里面可能隐藏着一些即得的结论,所以要求学生平时一些结论,定理要掌握
7、,并能随时应用12. 一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为 参考答案:略13. 如图所示,空间四边形OABC中,点M在OA上,且,N为BC中点,则等于参考答案:【考点】向量的三角形法则【分析】画出图形,用、表示、,从而求出【解答】解:画出图形,如图:,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,=,=(+)=+,=+;故答案为:14. 若函数有两个零点,则a应满足的充要条件是 参考答案:15. 程序框图如下:如果上述程序运行的结果为S132,那么判断框中应填入 参考答案:16. 三棱锥V-ABC中,AB=AC=10,BC=12,各侧面与底面
8、所成的二面角都是45,则棱锥的侧面积是_,高是 . 参考答案:.解析:据面积射影定理,. ,.又,且.17. 设向量a,b,c满足abc0,(ab)c,ab,若|a|1,则|a|2|b|2|c|2的值是_参考答案:4三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. 已知椭圆E:的离心率为,右焦点为F,且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A、B,过点A的直线l与椭圆E及直线分别相交于点M、N 当过A、F、N三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; 若,求的面积参考答案:解:由已知,且,所以,所以,所以椭圆的方程
9、为分()由,设设圆的方程为,将点的坐标代入,得解得分所以圆的方程为,即,因为,当且仅当时,圆的半径最小,故所求圆的方程为分()由对称性不妨设直线的方程为由得,9分所以,所以,化简,得,分解得,或,即,或,此时总有,所以的面积为12分略19. (本小题满分12分)已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2,点P(x1,y1),Q(x1,y1)是双曲线上不同的两个动点求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程参考答案:20. 记表示,中的最大值,如已知函数,(1)设,求函数在上零点的个数;(2)试探讨是否存在实数,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由参考答案:(1)设,令,得,递增;令,
10、得,递减,即,.2分设,易知在上有两个根,即在上零点的个数为2 .4分(2)假设存在实数,使得对恒成立,则对恒成立,.5分即对恒成立,(i)设,令,得,递增;令,得,递减 .6分当,即时, .7分当,即时,在上递减,合题意.故,对恒成立 .9分(ii)若对恒成立,由知,等价对恒成立,则, .11分由(i)及(ii)得, .12分21. 如图所示,F1、F2分别为椭圆C:的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程和焦点坐标;(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求F1PQ的面积.参考答案:解:(1)由题设知:2a
11、= 4,即a = 2;将点代入椭圆方程得,解得b2 = 3;c2 = a2b2 = 43 = 1,故椭圆方程为,焦点F1、F2的坐标分别为(-1,0)和(1,0),(2)(法一)由(1)知,PQ所在直线方程为,由得,设P (x1,y1),Q (x2,y2),则,(法二)由(1)知,则,PQ所在直线方程为,即过点作于点,因为,则由得,所以,所以所以22. 已知函数f(x)=+lnx,其中aR,且曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=x()求a的值;()求函数f(x)的单调区间与极值参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值【分析】()由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=x可得f(1)=2,可求出a的值;()根据(I)可得函数的解析式和导函数的解析式,分析导函数的符号,进而可得函数f(x)的单调区间与极值【解答】解:()f(x)=+lnx,f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=xf(1)=a1=2,解得:a=()由()知:f(x)=+lnx,f(x)=(x0),令f(x)=0,解得x=5,或x=1(舍),当x(0,5)时,f(x)0,当x(5,+)时,f(x)0,故函数f(x)的单调递增区间为(5,+);单调递减区间为(0,5);当x=5时,函数取极小值ln5