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1、江苏省无锡市锡山高级中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列an的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，则T2017=（）ABCD参考答案：B【考点】数列的求和【分析】当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1即可得出通项公式；然后利用裂项消项法求解即可【解答】解：当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=n2（n1）2=2n1，当n=1时适合上式，an=2n1（nN*）数列可得： =，数列的前n项和为Tn=则T2017=故选：B2. 已知f（x）是定义在R上
2、的减函数，其导函数f（x）满足+x1，则下列结论正确的是（）A对于任意xR，f（x）0B对于任意xR，f（x）0C当且仅当x（，1），f（x）0D当且仅当x（1，+），f（x）0参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由题意可得（x1）f（x）0，结合函数的单调性，从而可判断当x1时，f（x）0，结合f（x）为减函数可得结论【解答】解：+x1，f（x）是定义在R上的减函数，f（x）0，f（x）+f（x）xf（x），f（x）+f（x）（x1）0，（x1）f（x）0，函数y=（x1）f（x）在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x1时，y0，当x（1，+）时，x10，故f（x）0，又f
3、（x）是定义在R上的减函数，x1时，f（x）0也成立，f（x）0对任意xR成立，故选：B3. 已知命题p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 A B. C. D. 参考答案：答案:A 4. 平面向量、满足，且，则与的夹角等于（ ）A B C D参考答案：B5. 设函数则（ ）A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数参考答案：6. 已知：sin（+）+3cos（）=sin（），则sincos+cos2=（）ABCD参考答案：D【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值【分析】由条件利用诱导公式求得 tan=2，再利用同角三角函数的基本关系求得sincos
4、+cos2 的值【解答】解：sin（+）+3cos（）=cos3cos=2cos=sin（）=sin，tan=2，则sincos+cos2=，故选：D7. 如果复数的实部和虚部互为相反数，那么b等于A. B. C. D. 参考答案：C因为，且实部和虚部都互为相反数，所以选C.8. 设随机变量服从正态分布N(3，4)，若，则实数a的值为 A. B. C. D参考答案：A略9. 下面是关于复数的四个命题:, 的共轭复数为 的虚部为其中真命题为( )ABCD参考答案：C10. 已知椭圆的一个焦点是圆的圆心,且短轴长为8 ，则椭圆的左顶点为 A B C D参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小
5、题4分,共28分11. 已知圆C：（x3）2+（y4）2=25，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，若点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，则的最小值为参考答案：【考点】JE：直线和圆的方程的应用；7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，求出m，然后推出a，b的方程，利用基本不等式求解表达式的最值【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）2=25，圆心坐标（3，4），半径为5，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m0）的最短距离为1，可得=6，解得m=55点N（a，b）在直线l
6、位于第一象限的部分，可得3a+4b=55则=（）（3a+4b）= 7+（7+）=当且仅当3a2=4b2，a=取等号故答案为：12. 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为_参考答案：13. 设，且，则=_ 参考答案：【知识点】向量的运算；向量的坐标表示.【答案解析】解析 ：解：因为，又因为，所以，即，故；又因为，所以，即，故，则，故答案为.【思路点拨】先利用，解出的值，再进行坐标运算即可.14. 已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左向右依次交于四个不同点，且，则实数的值为 .参考答案：略15. 函数的图象与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于_参考答案：1216. 已知向量，若，则
7、参考答案：略17. 已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数存在两个极值点（）求实数a的取值范围；（）设x1和x2分别是f（x）的两个极值点且x1x2，证明：参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）函数f（x）有两个极值点等价于其导函数f（x）在（0，+）有两个零点，分类讨论求实数a的取值范围；（）要证，两边同时取自然对数得，由f（x）=0得，得所以原命题等价于证明【解答】（）解：由题设函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=
8、lnxax，故函数f（x）有两个极值点等价于其导函数f（x）在（0，+）有两个零点当a=0时f（x）=lnx，显然只有1个零点x0=1（2分）当a0时，令h（x）=lnxax，那么若a0，则当x0时h（x）0，即h（x）单调递增，所以h（x）无两个零点（3分）若a0，则当时h（x）0，h（x）单调递增；当时h（x）0，h（x）单调递减，所以又h（1）=a0，当x0时，故若有两个零点，则，得综上得，实数a的取值范围是 （6分）（）证明：要证，两边同时取自然对数得（7分）由f（x）=0得，得所以原命题等价于证明（8分）因为x1x2，故只需证，即（9分）令，则0t1，设，只需证g（t）0（10分）而
9、，故g（t）在（0，1）单调递增，所以g（t）g（1）=0综上得（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值点，不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19. （本小题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润 （单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第个月的当月利润率 ，例如： ()求； ()求第个月的当月利润率；ks5u()该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率参考答案：()由题意得2分 （2）当时，-4分当时， 7分当第个月的
10、当月利润率为 8分（）当时，是减函数，此时的最大值为 9分当时， 当且仅当时，即时，12分，当时， 13分答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为. 14分20. 己知n为正整数，数列an满足an0，4（n+1）an2nan+12=0，设数列bn满足bn=（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列bn是等差数列，求实数t的值：（3）若数列bn是等差数列，前n项和为Sn，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）数列an满足an0，4（n+1）an2nan+
11、12=0，化为： =2，即可证明（2）由（1）可得： =，可得=n?4n1数列bn满足bn=，可得b1，b2，b3，利用数列bn是等差数列即可得出t（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sna14n2=16bm，即可得出a1【解答】（1）证明：数列an满足an0，4（n+1）an2nan+12=0，=an+1，即=2，数列是以a1为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得： =，=n?4n1bn=，b1=，b2=，b3=，数列bn是等差数列，2=+，=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4（3）解：数列bn是等差数列，由（2）可得：t=12或4t=12时，bn=，
12、Sn=，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，a14n2=16，=，n=1时，化为：=0，无解，舍去t=4时，bn=，Sn=，对任意的nN*，均存在mN*，使得8a12Sna14n2=16bm成立，a14n2=16，n=4m，a1=a1为正整数，=k，kN*满足条件的所有整数a1的值为a1|a1=2，nN*，mN*，且=k，kN*21. 已知四棱锥PABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。（）求四棱锥PABCD的体积；（）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；()若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小。参考答案：（）（）见解析() 120解析：（）由三视图知PC面ABCD，ABCD为正方形，且PC=2，AB=BC=1，-4分（）PC面ABCD，BD?面ABCDPCBD ,而BDAC，ACAE=A，BD面ACE，而AE?面ACEBDAE -7分 ()法一：连接AC，交BD于O由对称性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，设
