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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -17.1 勾股定理导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、明白勾股定理的由来经受探究勾股定理的过程2、懂得并能用不同的方法证明勾股定理，并能简洁的运用【重点难点】重点：懂得勾股定理，懂得证明勾股定理的证明方法难点：勾股定理的证明学问概览图直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理新课导引公式 a 2b2c2 （ c 为斜边长）假如梯子底端离建筑物5 米， 17 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？依据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB=17 米， AC=5 米，ACB=90，如何求
2、这个三角形的BC 边的长呢？教材精华学问点 1 有关勾股定理的历史古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股 4、弦 5 之说.历史上，周朝数学家商高对周公说： “故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，假如勾为 3，股为 4，那么 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -弦必为 5.这足以说明我国是最早明白勾股定理的国家之一.学问点 2勾股定理的探究让我们通过运算面积的方法探究勾股定理.观看图 1
3、8-1，正方形 A 中有 9 个小方格，即 A 的面积是 9 个单位面积 .正方形 B 中有 9 个小方格，即 B 的面积是 9 个单位面积 .正方形 C 中有 18 个小方格， 即 C 的面积是 18 个单位面积 .可以发觉， C 的面积 =A 的面积 +B 的面积.学问点 3 勾股定理假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2 .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】（ 1）勾股定理存在的前提是直角三角形，假如不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了 .（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”
4、结合起来，是数形结合思想的典范.（3）勾股定理的证明 .证明勾股定理的方法有很多，现在给出几种证法（拼图法）：证法 1：如图 18-2 所示，由于大正方形的边长是a+b，所以面积为ab2 ，而中间小正方形的面积为c2,四周四个直角三角形面积和为4 1 ab ，故有2ab2c2 +4 1 ab ，2整理得 a 2b2c2 .证法 2：如图 18-3 所示，图为大正方形的边长是a+b，所以它的面积为ab2 ，又由于该正方形的边长与如图18-2 所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有 a 2b 2 +4 1 ab =c2+4 1 ab ，整理得 a2b 2c2 .22 第 2 页，共 22 页
5、 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -证法 3：如图 18-4 所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的 .S 梯形1 ab ab1 ab222，S 梯形1 ab 2+ 122c2 =ab+1 c2 ,2 1 ab2ab1 c2 ，整理得 a 2b 2c2 .22证法 4：如图 18-5 所示，该图是由 4 个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.以 c 为边的大正方形面积是c2，而 4 个直角三角形的面积和为4 1 ab ，且中间的小正方形2的面积是ba 2 .c2=
6、4 1 ab +（b-a）2,整理得 a 2b 22c2 .学问点 4勾股定理的应用（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长 .（ 2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由 a 2b2c2 可以得到如下关系： a2c2b 2 ； b2c2a 2 ； ca2b2 ；ac2b2 ； bc2a2 .课堂检测基础学问应用题1、在 ABC 中， C=90 .（1）如 a=5，b=12，求 c；（2）如 c=26，b=24，求 a. 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - -
7、 - - - - - - - - - - - - -2、在一棵树的 10 m 高处有两只猴子 ,其中一只爬下树走向离树20 m 的池塘 ,而另一只爬到树顶后直扑池塘 ,假如两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高 .综合应用题3、如图 18-10 所示，在 ABC 中，A=60，AB=15 cm，AC=24cm，求 BC的长.4、如图 18-11 所示，A，B 两个村子在河 CD 同侧，A，B 两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边 CD 上建一水厂，向 A，B 两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000 元.请在 CD 上挑选水厂的位置O，使铺
8、设水 管的 费用 最省，并求出铺设水管的总费用. 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -探究创新题5、已知 RtABC 中， A， B， C 的对边长分别为a,b,c， 设 ABC 的面积为 S，周长为l.(1) 请你完成下面的表格；a,b,ca+b-cS l3,4,55,12,138,15,17S =（用含 m 的代数式表示）；l（3）请说明你写的猜想的推理过程.体验中考（ 2）认真观看上表中 你填 定的数据规律，假如 a,b,c 为已知的正实数， 且 a+b-c=m ，那么1、图
9、 18-19 是一株漂亮的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角 形 . 如 正 方 形 A ， B ， C ， D的 边 长 分 别 是3 ， 5 ， 2 ， 3 ， 就最 大正 方 形 E的 面积 是（）A 13B 26C47D 94 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、如图 18-20 所示，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 与点 C 的距离为 5，一只蚂蚁假如沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（）A 521B
10、25C105 +5D 35学后反思【解题方法小结】（1）求不规章图形面积应用割补法把图形分解为特别的图形.（2）四边形中常通过作帮助线构造直角三角形，以利用勾股定理.（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解析 利用勾股定理 a 2b 2c2 来求未知边长 .【解题方法】 已知直角三角形的两边长， 求第三边长， 关键是先弄清晰所求边是直角边仍是斜边，再打算用勾股定理原式仍是变式. 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - -
11、 -解：在 ABC 中， C=90，所以 a 2b2c2 .（1）由于 a 2b 2c2 ，a=5,b=12，所以 c2a 2b 25212 225144169 ，所以 c=13.（2）由于 a 2b2c2 ， c=36,b=24，所以 a 2c2b226 2242676576100 .所以 a= 10.2、解析 如图 18-9 所示,设 A 为树根 ,D 为树顶 ,B 为猴子所在处 ,就 AB=10 m,C 为池塘 ,设 BD=x m, 已知两只猴子走过的路程相等 ,即 DB+CD=AB+AC ,就可以应用勾股 定 理 求 出 CD,继而求出树高 AD.解:如图 18-9 所示,B 为猴子初
12、始位置 ,就 AB=10 m,C 为池塘 ,就AC=20 m.设 BD=x m,就树高 AD =10+xm.BD+CD=AB+AC , x+CD =20+10.CD=30-xm.在 RtACD 中,A=90,由勾股定理得202+（10+x）2=30-x 2, x=5.树高 AD=10+5=15m.AC 2AD 2CD 2 ,3、解析 此题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知 A=60，因此作 AB 边上的高或 AC 边上的高，运用含30角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.解：过点 C 作 CD AB，垂足为 D， 所以 ADC=90.由于 A=60，所以 ACD=30.所以 AD= 12AC= 1224=12（ cm）.又由于 AB=15 cm,所以 BD=AB-AD =15-12=3（cm）.
