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1、初三数学二次函数的最值问题解析例 1.已知二次函数的图象与x 轴交于 A（ 2， 0）， B（ 3， 0）两点，且函数有最大值是2，（1）求：二次函数图象的解析式（2）设此二次函数图象的顶点为P，求： ABP的面积分析： 与几何学问结合的函数问题，要留意几何量的大小与点的坐标间的关系；解：（ 1）二次函数的图象与x 轴交于点A（ 2， 0）， B（ 3， 0）设解析式为即所求解析式为另解：图象过（2， 0），（ 3， 0）对称轴为顶点为（） 设，把代入即可（2），AB边上的高即P 到 x 轴的距离，为函数最大值2例 2.如图，在矩形ABCD中， BD 20， AD AB，设 ABD，已知sin
2、 是方程的一个实数根，点E、F 分别是 BC、DC上的点， EC CF 8，设 BE x ， AEF的面积等于y（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 E、F 两点在什么位置时，y 有最小值？并求出最小值解：（ 1）解方程可得在 Rt ABD中， AD BD sin 设 BE 为 x ，就有，（2）当时， y 有最小值是46故当 BE 10， CF 2 时， y 有最小值是46例 3.如图， ABC中， BC 4， B 45， M、N 分别是AB、AC上的点， MN BC，设 MN为 x ， MNC的面积为S；（1）求出 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范畴；（2）
3、是否存在平行线段MN，使 MNC的面积等于2，如存在，求出MN的长；如不存在，请说明理由；解：（ 1）过点 A 作 AD BC，垂足为D， 就有设 MNC的 MN上的高为hMN BC（2）如存在这样的平行线段MN，使就方程必有实数解，即方程必有实数解，但该方程的判别式，说明它没有实解，冲突，所以不存在这样的平行线段MN，使例 4.某商场购进一批单价为16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场打算提高销售价格，经试验发觉，如按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，如按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y （件）是价格 x （元 / 件
4、）的一次函数；（1）试求 y 与 x 之间的关系式（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少元？解：（ 1）设，依题意，得解得：（2）设月利润为w，就， w 有最大值；当时， w 最大，最大利润为1920 元；例 5.心理学家讨论发觉，一般情形下，同学的留意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开头时，同学的留意力逐步增强，中间有一段时间同学的留意力保持较为抱负的状态，随后同学的留意力开头分散，经过试验分析可知，同学的留意力y 随着时间t的变化规律有如下关系式：（1）讲课开头后，第5 分钟时与讲课开头后第25 分钟时比较，何时
5、同学的留意力更集中？（2）讲课开头后多少分钟，同学的留意力最集中？能连续多少分钟？（3）一道数学难题， 需要讲解24 分钟， 为了成效较好， 要求同学的留意力最低达到180，那么经过适当支配，老师能否在同学留意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：（ 1）当时，当时，讲课开头后第25 分钟时同学的留意力比讲课开头后第5 分钟更集中（2）当时，该图像的对称轴为，在对称轴左侧，y 随 t 的增大而增大，所以，当时，y有最大值240，当时， y 随 t 的增大而减小，所以，当时，y 有最大值240所以，讲课开头后10 分钟时，同学的留意力最集中，能连续10 分钟（3）当时，令当时，令，所以，同学留意
6、力在180 以上的连续时间为（分钟）所以，老师可经过适当支配，能在同学的留意力达到所需的状态下讲解完这道题目；例 6.已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点C（ 0， 4），与 x 轴交于 A、B两点，点A 在点 B 的左侧，求：此抛物线的解析式；解：（ 1）当 A、B 两点在原点同侧时，如图1图 1，C（ 0， 4）， OC 4， OB 1B（ 1，0）A（ 5，0）设二次函数解析式，由于抛物线过点C，即二次函数解析式（2）当 A、B 两点在原点异侧时，如图2图 2又 C（ 0，4）， OC 4， OB 1， B（ 1， 0）由即 AB 4， A（ 3，0）设二次函数解析式为
7、，由于抛物线过点C即二次函数解析式为例 7 已知一次函数（1）依据表中给出的x 值，运算对应的函数值，并填在表格中：（2）观看第（ 1）问表中有关数据，证明如下结论：在实数范畴内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；（ 3）试问：是否存在二次函数，其图象经过点（5， 2），且在实数范畴内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，如存在，求出函数的解析式，如不存在，请说明理由；解：（ 1）（2）证明：当自变量x 取任意实数时，均成立；（3）由经过（5， 2），得依题意，有由、可得恒大于 0，就满意：令恒大于0，就：满意综上，可得解析式为例 8 已知二次函数的图象经过点A（
8、3， 6），并与 x 轴交于点B（ 1， 0）和点 C，顶点为 P（1）求这个二次函数的解析式（2）设 D 为线段 OC上一点，满意DPC BAC，求：点D的坐标（3）在 x 轴上是否存在一点M，使以 M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y 轴都相切？假如存在，恳求出点M的坐标，如不存在，请说明理由；解：（ 1）将 A（ 3，6）， B（ 1， 0）代入得（2）过 A 作 AE x 轴，垂足为E，设抛物线的对称轴交x 轴于 F， 就 AEC、 CFP均为等腰直角三角形就 EAC FPC DPC BAC， EAB FPD AEB PFD，易求（3）存在：过M作 MH AC，MG PC垂足分别为H
9、、G，设 AC交 y 轴于 S， CP的延长线交 y 轴于 T SCT是等腰直角三角形，M是 SCT的内切圆圆心MG MHON，且OM MC OC，得，在 x 轴的负半轴上，存在一点M ，同理：得，即在x 轴上存在满意条件的两个点；【模拟试题】一、填空题：（1）抛物线的顶点坐标是 （2）抛物线的对称轴是 ，有最 值是 （3）有一个抛物线形桥拱，有最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面 直角坐标系中（如图1 所示），就此抛物线的解析式为 图 1（4）二次函数的图象如图2 所示，就函数值时，对应x 的取值范畴是 图 2（5）已知二次函数的图象与x 轴交于 A、B 两点，在 x 轴上
10、方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，就 C点的坐标为 （6）已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是2 和 6，图象与y 轴交点到原点的距离是 3，就这个二次函数是 （7）把配方成的形式是 （8）抛物线与x 轴只有一个交点，就m为 二、挑选题：（1）二次函数的图象如图3 所示，就以下结论正确选项（）图 3A.B.C.D.（2）二次函数的图象与一次函数，它们在同始终角坐标系中的图象可能是（）图 4（3）把抛物线的图象向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得图象的解析式是，就有（）A.B.C.D.三、解答题：（1）已知二次函数的图象过点（0， 5）求 m的值，并写出二次函数的解析式求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值（2）抛物线经过点P（ 4， 5），与 x 轴交于 A（， 0）， B（， 0）两点，求抛物线的解析式在抛物线上是否存在点Q，使得 PAQ和 PBQ的面积相等？如存在，求出 Q点的坐标，如不存在，请说明理由
