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1、初三数学二次函数的最值问题解析例 1.已知二次函数的图象与x 轴交于 A( 2, 0), B( 3, 0)两点,且函数有最大值是2,(1)求:二次函数图象的解析式(2)设此二次函数图象的顶点为P,求: ABP的面积分析: 与几何学问结合的函数问题,要留意几何量的大小与点的坐标间的关系;解:( 1)二次函数的图象与x 轴交于点A( 2, 0), B( 3, 0)设解析式为即所求解析式为另解:图象过(2, 0),( 3, 0)对称轴为顶点为() 设,把代入即可(2),AB边上的高即P 到 x 轴的距离,为函数最大值2例 2.如图,在矩形ABCD中, BD 20, AD AB,设 ABD,已知sin
2、 是方程的一个实数根,点E、F 分别是 BC、DC上的点, EC CF 8,设 BE x , AEF的面积等于y(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)当 E、F 两点在什么位置时,y 有最小值?并求出最小值解:( 1)解方程可得在 Rt ABD中, AD BD sin 设 BE 为 x ,就有,(2)当时, y 有最小值是46故当 BE 10, CF 2 时, y 有最小值是46例 3.如图, ABC中, BC 4, B 45, M、N 分别是AB、AC上的点, MN BC,设 MN为 x , MNC的面积为S;(1)求出 S与 x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范畴;(2)
3、是否存在平行线段MN,使 MNC的面积等于2,如存在,求出MN的长;如不存在,请说明理由;解:( 1)过点 A 作 AD BC,垂足为D, 就有设 MNC的 MN上的高为hMN BC(2)如存在这样的平行线段MN,使就方程必有实数解,即方程必有实数解,但该方程的判别式,说明它没有实解,冲突,所以不存在这样的平行线段MN,使例 4.某商场购进一批单价为16 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商场打算提高销售价格,经试验发觉,如按每件 20 元的价格销售时,每月能卖 360 件,如按每件 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y (件)是价格 x (元 / 件
4、)的一次函数;(1)试求 y 与 x 之间的关系式(2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少元?解:( 1)设,依题意,得解得:(2)设月利润为w,就, w 有最大值;当时, w 最大,最大利润为1920 元;例 5.心理学家讨论发觉,一般情形下,同学的留意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开头时,同学的留意力逐步增强,中间有一段时间同学的留意力保持较为抱负的状态,随后同学的留意力开头分散,经过试验分析可知,同学的留意力y 随着时间t的变化规律有如下关系式:(1)讲课开头后,第5 分钟时与讲课开头后第25 分钟时比较,何时
5、同学的留意力更集中?(2)讲课开头后多少分钟,同学的留意力最集中?能连续多少分钟?(3)一道数学难题, 需要讲解24 分钟, 为了成效较好, 要求同学的留意力最低达到180,那么经过适当支配,老师能否在同学留意力达到所需的状态下讲解完这道题目?解:( 1)当时,当时,讲课开头后第25 分钟时同学的留意力比讲课开头后第5 分钟更集中(2)当时,该图像的对称轴为,在对称轴左侧,y 随 t 的增大而增大,所以,当时,y有最大值240,当时, y 随 t 的增大而减小,所以,当时,y 有最大值240所以,讲课开头后10 分钟时,同学的留意力最集中,能连续10 分钟(3)当时,令当时,令,所以,同学留意
6、力在180 以上的连续时间为(分钟)所以,老师可经过适当支配,能在同学的留意力达到所需的状态下讲解完这道题目;例 6.已知,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线与y 轴交于点C( 0, 4),与 x 轴交于 A、B两点,点A 在点 B 的左侧,求:此抛物线的解析式;解:( 1)当 A、B 两点在原点同侧时,如图1图 1,C( 0, 4), OC 4, OB 1B( 1,0)A( 5,0)设二次函数解析式,由于抛物线过点C,即二次函数解析式(2)当 A、B 两点在原点异侧时,如图2图 2又 C( 0,4), OC 4, OB 1, B( 1, 0)由即 AB 4, A( 3,0)设二次函数解析式为
7、,由于抛物线过点C即二次函数解析式为例 7 已知一次函数(1)依据表中给出的x 值,运算对应的函数值,并填在表格中:(2)观看第( 1)问表中有关数据,证明如下结论:在实数范畴内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值均成立;( 3)试问:是否存在二次函数,其图象经过点(5, 2),且在实数范畴内,对于同一个值,这三个函数所对应的函数值均成立,如存在,求出函数的解析式,如不存在,请说明理由;解:( 1)(2)证明:当自变量x 取任意实数时,均成立;(3)由经过(5, 2),得依题意,有由、可得恒大于 0,就满意:令恒大于0,就:满意综上,可得解析式为例 8 已知二次函数的图象经过点A(
8、3, 6),并与 x 轴交于点B( 1, 0)和点 C,顶点为 P(1)求这个二次函数的解析式(2)设 D 为线段 OC上一点,满意DPC BAC,求:点D的坐标(3)在 x 轴上是否存在一点M,使以 M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y 轴都相切?假如存在,恳求出点M的坐标,如不存在,请说明理由;解:( 1)将 A( 3,6), B( 1, 0)代入得(2)过 A 作 AE x 轴,垂足为E,设抛物线的对称轴交x 轴于 F, 就 AEC、 CFP均为等腰直角三角形就 EAC FPC DPC BAC, EAB FPD AEB PFD,易求(3)存在:过M作 MH AC,MG PC垂足分别为H
9、、G,设 AC交 y 轴于 S, CP的延长线交 y 轴于 T SCT是等腰直角三角形,M是 SCT的内切圆圆心MG MHON,且OM MC OC,得,在 x 轴的负半轴上,存在一点M ,同理:得,即在x 轴上存在满意条件的两个点;【模拟试题】一、填空题:(1)抛物线的顶点坐标是 (2)抛物线的对称轴是 ,有最 值是 (3)有一个抛物线形桥拱,有最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面 直角坐标系中(如图1 所示),就此抛物线的解析式为 图 1(4)二次函数的图象如图2 所示,就函数值时,对应x 的取值范畴是 图 2(5)已知二次函数的图象与x 轴交于 A、B 两点,在 x 轴上
10、方的抛物线上有一点C,且ABC的面积等于10,就 C点的坐标为 (6)已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是2 和 6,图象与y 轴交点到原点的距离是 3,就这个二次函数是 (7)把配方成的形式是 (8)抛物线与x 轴只有一个交点,就m为 二、挑选题:(1)二次函数的图象如图3 所示,就以下结论正确选项()图 3A.B.C.D.(2)二次函数的图象与一次函数,它们在同始终角坐标系中的图象可能是()图 4(3)把抛物线的图象向右平移3 个单位,再向下平移2 个单位,所得图象的解析式是,就有()A.B.C.D.三、解答题:(1)已知二次函数的图象过点(0, 5)求 m的值,并写出二次函数的解析式求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值(2)抛物线经过点P( 4, 5),与 x 轴交于 A(, 0), B(, 0)两点,求抛物线的解析式在抛物线上是否存在点Q,使得 PAQ和 PBQ的面积相等?如存在,求出 Q点的坐标,如不存在,请说明理由