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1、中学数学重点:从一道数学压轴题谈起由于工作的关系, 我常常接到一些同学的询问,反映在考试时, 一见数学压轴题就发怵,常常折腾个把小时做不完;仍有的同学以为压轴题肯定很难,不敢碰它, 所以不如干脆舍弃,挪些时间检查,保证基础题少丢分,这也是部分老师的谆谆教诲和同学家长的千叮万嘱. 这种做法是否明智?数学压轴题是在中学主干学问的交汇处命制,是多个基础学问点的融合或深挖,所涉及的学问点多,掩盖面广,综合性强, 对思维才能思维品质的考查要求很高,几乎都涉及到数学学科的基础学问、基本技能、基本思想与基本方法,如三角形的全等、相像;函数解析式的求法与应用、方程的思想、分类争论的思想、数形结合的思想等,所以
2、具有肯定难度,绝大部分同学难以全部完成.1压轴题真的就不能碰吗?下面以东营市压轴题为例谈谈我们的看法题目:(东营市24 题)已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点, 过 E 点作 EF BD交 BC 于 F ,连接 DF , G 为 DF 中点,连接EG, CG ( 1)求证: EG=CG;( 2)将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o,如图所示,取DF 中点 G,连接 EG, CG问( 1)中的结论是否仍旧成立?如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由( 3)将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍旧成立?通过观看你仍能得出什么
3、结论?(均不要求证明)ADADAD GGFEEFEBFCBCBC图图图这一压轴题改编自广州市中学同学学业考试数学试题第25 题,原题如下:已知 RtABC 中, AB=AC,在 Rt ADE 中, AD =DE,连结 EC,取 EC 中点 M,连结DM 和 BM.( 1)如点 D 在边 AC 上,点 E 在边 AB 上且与点B 不重合,如图,求证:BM =DM 且 BM DM ;( 2)如图中的ADE 绕点 A 逆时针转小于45的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?假如不成立,请举出反例;假如成立,请赐予证明该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础学问,考查空间观念、演绎推理才能命
4、题组给出的参考解答及评分看法如下:解:( 1)证明:在Rt FCD 中, G 为 DF 的中点,1G CG=FD 1分E2同理,在RtDEF 中,1BFCEG=2FD 2 分图 CG=EG3 分( 2)(1)中结论仍旧成立,即EG =CG 4 分证法一:连接AG,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于N 点在 DAG 与 DCG 中, AD =CD , ADG = CDG , DG =DG , DAG DCG AG=CG5 分在 DMG 与 FNG 中, DGM = FGN ,FG =DG , MDG = NFG , DMG FNG MG =NG在矩形 AENM 中, AM
5、 =EN 6 分在 RtAMG与 Rt ENG 中, AM =EN, MG =NG, AMG ENG AG=EG EG=CG8 分证法二:延长CG 至 M ,使 MG =CG ,连接 MF , ME , EC,4 分在 DCG与 FMG 中, FG=DG , MGF = CGD , MG=CG , DCG FMG MF =CD , FMG DCG MF CD AB5 分 EFMF AMDGEFNBNC图 (一)MADGEFBC图 (二)在 RtMFE与 Rt CBE 中, MF =CB,EF =BE , MFE CBEMEFCEB 6 分 MEC MEF FEC CEB CEF 907 分 M
6、EC 为直角三角形AD MG = CG ,G EG=1 FMCE2EGCG 8 分图( 3)(1)中的结论仍旧成立,BC即 EG=CG 其他的结论仍有:EG CG 10 分分析 :解答压轴题, 除了要具备扎实的数学学问和良好的的读题习惯外, 仍要具备较高的应考才能,要特殊关注题目中的特殊图形,如题目中的“正方形的对角线” ;特殊的位置关系,如“ EF BD ”;特殊的点“中点 G”等;要找准压轴题的“题眼” , “题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中该压轴题由3 个小题组成 .第( 1)题要求证明两条线段相等,这可以分别在Rt FCD和 RtDEF 中利用“直角三角形斜边上的中线
7、等于斜边的一半”得到要证得结论,这一问是比较简洁的,简洁上手;第2题是转变图中BEF 的位置,将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转45o,如图所 示,取 DF 中点 G,连接 EG, CG问( 1)中的结论是否仍旧成立?如成立,请给出证明; 如不成立,请说明理由这一问稍难,但仍仍属于常规题型,证明的过程需要添加帮助线,通过证两次三角形的全等,借助于等量代换,得到EGCG ;第3 题较难,才能要求较高假如从合情推理的角度动身,可以通过量一量、猜一猜的方法解决在解答时把最简洁的第(1)小题的分数完全拿到,中等难度的第(2)小题力争拿到全分,最难的第(3)小题要争取得到一点分,这样就大大提高了获得数学
8、高分的可能性另外,从评分标准可以看出,肯定要重视分段得分.一道压轴题做不出来,不等于一点思路没有,要考虑各种可能由浅入深的分析,知道一步做一步.因此,对压轴题要懂得多少做多少,最大限度地发挥自己的水平所以,我要大声疾呼:千万莫轻易向压轴题投降!2 仍有其他解法吗下面再给出(2)的另外几种证法:证法三:过点G 作 MN AD 交 AB 于 M ,交 CD 于 N,GP AD 于 P,就 BMG 与 DNG 均是等腰直角三角形,四边形 MNCB 是矩形,四边形PDNG 是正方形 .所以 MG =BM=CN.由于 G 为 DF 的中点, 所以 EM =AM=DN =GN ,所以 Rt EMG Rt
9、GNG,APDMGNEFBC图 (三)所以 EGCG 证法四:过G 作 GM AD 交 AB 于 M ,由于 EF AD ,DG =GF ,所以 AM =ME,AD所以 GA=GE.由于四边形ABCD 是正方形,所以 AD =CD , GD =GD , AGD = CGD ,所以 AGD CGD , 所以 AG=CG.所以 EGCG 3 该压轴题能推广吗?GMEFBNC图 (四)将试题中“ E 为对角线BD 上一点,过E 点作 EF BD 交 BC 于 F”变换为“ E 为直线BD 上一点,过E 点作 EF BD 交直线 BC 于 F ”,可得:变式 1:已知正方形ABCD 中, E 为直线
10、BD 上一点,过E 点作 EFBD 交直线 BC 于F,连接 DF , G 为 DF 中点,连接EG,CG ( 1)求证: EG=CG;( 2)将 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o,取 DF 中点 G,连接 EG, CG问( 1)中的结论是否仍旧成立?如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由( 3)将 BEF 绕 B 点旋转任意角度,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍旧成立?通过观看你仍能得出什么结论?EADADADGGGEBFCFBCBCF.E将变式 1 中“将 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o”变换为“将BEF 绕 B 点顺时针旋转45o”,可得:变式 2:已知正方形ABCD 中
11、, E 为直线 BD 上一点,过E 点作 EF BD 交直线 BC 于 F,连接 DF ,G 为 DF 中点,连接EG, CG ( 1)求证: EG=CG;( 2)将 BEF 绕 B 点顺时针旋转45o,取 DF 中点 G,连接 EG, CG问( 1)中的结论是否仍旧成立?如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由( 3)将 BEF 绕 B 点旋转任意角度,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍旧成立?通过观看你仍能得出什么结论?假如将条件“过E 点作 EF BD 交直线 BC 于 F,连接 DF , G 为 DF 中点,连接EG,CG”变换为 “过 E 点作 EF BC 交直线 BC 于 F
12、 ,连接 DE ,G 为 DE 中点, 连接 FG,CG ”可得:变式 3:已知正方形ABCD 中, E 为直线 BD 上一点,过E 点作 EF BC 交直线 BC 于 F,连接 DE ,G 为 DE 中点,连接FG , CG ( 1)求证: FG=CG;( 2)将 BEF 绕 B 点顺(或逆)时针旋转45o,取 DE 中点 G,连接 FG ,CG问( 1)中的结论是否仍旧成立?如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由( 3)将 BEF 绕 B 点旋转任意角度,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍旧成立?通过观看你仍能得出什么结论?EGA DAADGB FCFGBCBCF由证法四,可得E变
13、式 4 :如图, P 是正方形ABCD 对角线 AC 上一动点( P 与 A、C 不重合),点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB .求证: PE=PD; PE PD .如将条件 “知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点, 过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F ,连接 DF , G 为 DF 中点,连接EG, CG”变换为“知正方形ABCD 中, P 为对角线AC 上一点,过 P 点作 PE BC 交 BC 于 E,PF CD 交 CD 于 F”可得:变式 5:如图 1,已知 P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点不与 A、C 重合 , PE BC 于点 E, PF CD 于点 F(1) 求证: BP=DP ;(2) 如图 2,如四边形PECF 绕点 C 旋转任意一个角度,在旋转过程中是否总有BP=DP ?