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1、中学数学重点：从一道数学压轴题谈起由于工作的关系， 我常常接到一些同学的询问，反映在考试时， 一见数学压轴题就发怵，常常折腾个把小时做不完；仍有的同学以为压轴题肯定很难，不敢碰它， 所以不如干脆舍弃，挪些时间检查，保证基础题少丢分，这也是部分老师的谆谆教诲和同学家长的千叮万嘱. 这种做法是否明智？数学压轴题是在中学主干学问的交汇处命制，是多个基础学问点的融合或深挖，所涉及的学问点多，掩盖面广，综合性强， 对思维才能思维品质的考查要求很高，几乎都涉及到数学学科的基础学问、基本技能、基本思想与基本方法，如三角形的全等、相像；函数解析式的求法与应用、方程的思想、分类争论的思想、数形结合的思想等，所以
2、具有肯定难度，绝大部分同学难以全部完成.1压轴题真的就不能碰吗？下面以东营市压轴题为例谈谈我们的看法题目：（东营市24 题）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点， 过 E 点作 EF BD交 BC 于 F ，连接 DF ， G 为 DF 中点，连接EG， CG （ 1）求证： EG=CG；（ 2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图所示，取DF 中点 G，连接 EG， CG问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么
3、结论？（均不要求证明）ADADAD GGFEEFEBFCBCBC图图图这一压轴题改编自广州市中学同学学业考试数学试题第25 题，原题如下：已知 RtABC 中， AB=AC，在 Rt ADE 中， AD =DE，连结 EC，取 EC 中点 M，连结DM 和 BM.（ 1）如点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点B 不重合，如图，求证：BM =DM 且 BM DM ；（ 2）如图中的ADE 绕点 A 逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？假如不成立，请举出反例；假如成立，请赐予证明该题主要考查三角形、图形的旋转、特殊四边形等基础学问，考查空间观念、演绎推理才能命
4、题组给出的参考解答及评分看法如下：解：（ 1）证明：在Rt FCD 中， G 为 DF 的中点，1G CG=FD 1分E2同理，在RtDEF 中，1BFCEG=2FD 2 分图 CG=EG3 分（ 2）（1）中结论仍旧成立，即EG =CG 4 分证法一：连接AG，过 G 点作 MN AD 于 M ，与 EF 的延长线交于N 点在 DAG 与 DCG 中， AD =CD ， ADG = CDG ， DG =DG ， DAG DCG AG=CG5 分在 DMG 与 FNG 中， DGM = FGN ，FG =DG ， MDG = NFG ， DMG FNG MG =NG在矩形 AENM 中， AM
5、 =EN 6 分在 RtAMG与 Rt ENG 中， AM =EN， MG =NG， AMG ENG AG=EG EG=CG8 分证法二：延长CG 至 M ,使 MG =CG ，连接 MF ， ME ， EC，4 分在 DCG与 FMG 中， FG=DG ， MGF = CGD ， MG=CG ， DCG FMG MF =CD ， FMG DCG MF CD AB5 分 EFMF AMDGEFNBNC图 （一）MADGEFBC图 （二）在 RtMFE与 Rt CBE 中， MF =CB，EF =BE ， MFE CBEMEFCEB 6 分 MEC MEF FEC CEB CEF 907 分 M
6、EC 为直角三角形AD MG = CG ，G EG=1 FMCE2EGCG 8 分图（ 3）（1）中的结论仍旧成立，BC即 EG=CG 其他的结论仍有:EG CG 10 分分析 ：解答压轴题， 除了要具备扎实的数学学问和良好的的读题习惯外， 仍要具备较高的应考才能，要特殊关注题目中的特殊图形，如题目中的“正方形的对角线” ；特殊的位置关系，如“ EF BD ”；特殊的点“中点 G”等；要找准压轴题的“题眼” ， “题眼”一般在于某一个特殊图形中或在于某个思想方法中该压轴题由3 个小题组成 .第（ 1）题要求证明两条线段相等，这可以分别在Rt FCD和 RtDEF 中利用“直角三角形斜边上的中线
7、等于斜边的一半”得到要证得结论，这一问是比较简洁的，简洁上手；第2题是转变图中BEF 的位置，将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，如图所 示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明； 如不成立，请说明理由这一问稍难，但仍仍属于常规题型，证明的过程需要添加帮助线，通过证两次三角形的全等，借助于等量代换，得到EGCG ；第3 题较难，才能要求较高假如从合情推理的角度动身，可以通过量一量、猜一猜的方法解决在解答时把最简洁的第（1）小题的分数完全拿到，中等难度的第（2）小题力争拿到全分，最难的第（3）小题要争取得到一点分，这样就大大提高了获得数学
8、高分的可能性另外，从评分标准可以看出，肯定要重视分段得分.一道压轴题做不出来，不等于一点思路没有，要考虑各种可能由浅入深的分析，知道一步做一步.因此，对压轴题要懂得多少做多少，最大限度地发挥自己的水平所以，我要大声疾呼：千万莫轻易向压轴题投降！2 仍有其他解法吗下面再给出（2）的另外几种证法：证法三：过点G 作 MN AD 交 AB 于 M ，交 CD 于 N，GP AD 于 P，就 BMG 与 DNG 均是等腰直角三角形，四边形 MNCB 是矩形，四边形PDNG 是正方形 .所以 MG =BM=CN.由于 G 为 DF 的中点， 所以 EM =AM=DN =GN ,所以 Rt EMG Rt
9、GNG,APDMGNEFBC图 （三）所以 EGCG 证法四：过G 作 GM AD 交 AB 于 M ，由于 EF AD ,DG =GF ,所以 AM =ME，AD所以 GA=GE.由于四边形ABCD 是正方形，所以 AD =CD , GD =GD , AGD = CGD ，所以 AGD CGD , 所以 AG=CG.所以 EGCG 3 该压轴题能推广吗？GMEFBNC图 （四）将试题中“ E 为对角线BD 上一点，过E 点作 EF BD 交 BC 于 F”变换为“ E 为直线BD 上一点，过E 点作 EF BD 交直线 BC 于 F ”，可得：变式 1：已知正方形ABCD 中， E 为直线
10、BD 上一点，过E 点作 EFBD 交直线 BC 于F，连接 DF ， G 为 DF 中点，连接EG，CG （ 1）求证： EG=CG；（ 2）将 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将 BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么结论？EADADADGGGEBFCFBCBCF.E将变式 1 中“将 BEF 绕 B 点逆时针旋转45o”变换为“将BEF 绕 B 点顺时针旋转45o”，可得：变式 2：已知正方形ABCD 中
11、， E 为直线 BD 上一点，过E 点作 EF BD 交直线 BC 于 F，连接 DF ，G 为 DF 中点，连接EG， CG （ 1）求证： EG=CG；（ 2）将 BEF 绕 B 点顺时针旋转45o，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将 BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么结论？假如将条件“过E 点作 EF BD 交直线 BC 于 F，连接 DF ， G 为 DF 中点，连接EG，CG”变换为 “过 E 点作 EF BC 交直线 BC 于 F
12、 ，连接 DE ，G 为 DE 中点， 连接 FG，CG ”可得：变式 3：已知正方形ABCD 中， E 为直线 BD 上一点，过E 点作 EF BC 交直线 BC 于 F，连接 DE ，G 为 DE 中点，连接FG ， CG （ 1）求证： FG=CG；（ 2）将 BEF 绕 B 点顺（或逆）时针旋转45o，取 DE 中点 G，连接 FG ，CG问（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由（ 3）将 BEF 绕 B 点旋转任意角度，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍旧成立？通过观看你仍能得出什么结论？EGA DAADGB FCFGBCBCF由证法四，可得E变
13、式 4 ：如图， P 是正方形ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .求证： PE=PD； PE PD .如将条件 “知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点， 过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F ，连接 DF ， G 为 DF 中点，连接EG， CG”变换为“知正方形ABCD 中， P 为对角线AC 上一点，过 P 点作 PE BC 交 BC 于 E，PF CD 交 CD 于 F”可得：变式 5：如图 1，已知 P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点不与 A、C 重合 ， PE BC 于点 E， PF CD 于点 F(1) 求证： BP=DP ；(2) 如图 2，如四边形PECF 绕点 C 旋转任意一个角度，在旋转过程中是否总有BP=DP ？
