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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -圆章节学问点复习圆的记忆口诀:常把半径直径连,有弦可做弦心距,它定垂直平分弦,直圆周角立上边; 圆有内接四边形,对角互补记心间,外角等于内对角,四边形定内接圆, 直角相对成共弦,试试加一个帮助圆,如是证题打转轴,四点共圆可解难,要想证明圆切线,垂直半径过外端,直线与圆有共点,证垂直来半径连直线与圆未给点,需证半径作垂线,四边形有内切圆,对边和等是条件,假如遇到圆与圆,弄清位置很关键,圆相切做公切,两圆想交连工弦; 一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;轨迹形式的概念:
2、1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线;二、点与圆的位置关系r1、点在圆内dr点 C 在圆内;Ad2、点在圆上dr点 B 在圆上;O Bd3、点在圆外dr点 A 在圆外;C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点;2、直线与圆相切dr有一个交
3、点;3、直线与圆相交dr有两个交点;1 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -rdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr ;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr;dddRrRrRr图 1图2图3ddrrRR图4图 5五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧;推论 1:( 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;( 2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分
4、弦所对的两条弧;( 3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理:此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即: AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD2 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -中任意 2 个条件推出其他3 个结论;推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等;即:在 O 中, AB CD弧 AC弧 BDACDOOABECDB六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中
5、,相等的圆心角所对的弦相等,所对E的弧相等,弦心距相等;此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,F只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,OD即:AOBDOE ; ABDE ;ACB OCOF ;弧 BA弧 BD七、圆周角定理1、圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半;C即:AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOB2ACBBOA2、圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相等的圆DC周角所对的弧是等弧;即:在 O 中,C 、D 都是所对的圆周角BOCDA推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的
6、弧C是半圆,所对的弦是直径;即:在 O 中, AB 是直径或C90BOAC90 AB 是直径3 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -推论3:如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是C直角三角形;即:在ABC 中, OCOAOBBOA ABC 是直角三角形或C90注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理;八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角;即:在 O 中,CD四边形ABCD 是内接
7、四边形CBAD180BD180DAECBAE九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即: MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线O(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点;MAN推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心;以上三个定理及推论也称二推肯定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个;十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等 ,B4OP 第 4 页,共 7 页 A- -
8、 - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -这点和圆心的连线平分两条切线的夹角;即: PA 、 PB 是的两条切线 PAPBPO 平分BPA十一、圆幂定理(1)相交弦定理 :圆内两弦相交, 交点分得的两条线段的乘积相等;D BO即:在 O 中,弦AB 、 CD 相交于点P ,PCA PA PBPC PD( 2)推论:假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的C两条线段的比例中项;B即:在 O 中,直径ABCD ,OEAD CE2AEBE( 3) 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切A线长是这点到割线与圆交点
9、的两条线段长的比例中项;E D即:在 O 中, PA 是切线, PB 是割线POCBPA2PCPB(4) 割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) ;即:在 O 中, PB 、 PE 是割线 PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦;A的O1O2如图:O1O2 垂直平分AB ;B即:O1 、O2 相交于 A 、 B 两点 O1O2 垂直平分AB5 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - -
10、 -十三、圆的公切线两圆公切线长的运算公式:ABCO1O2( 1)公切线长:RtO O C 中, AB2CO 2O O 2CO 2 ;121122(2)外公切线长:CO2 是半径之差;内公切线长:CO2 是半径之和;十四、弦切角定理顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 ;弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 ;十五、 圆内正多边形的运算C(1)正三角形在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在RtBOD 中进行:OOD : BD: OB1:3 : 2 ;BDA(2)正四边形同理,四边形的有关运算在RtOAE 中进行, OE : AE : OABC1:1:2 :OAED(3)正六边
11、形同理,六边形的有关运算在RtOAB 中进行,AB : OB : OA1:3 : 2 .OBA6 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -十六、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式A1、扇形:(1)弧长公式:l(2)扇形面积公式:nR;180nR21SlR3602OSlBn :圆心角R :扇形多对应的圆的半径l :扇形弧长S :扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面绽开图DAD1SS2S= 2rh2r 2母线长表侧底底面圆周长BC1(2)圆柱的体积:3、侧面绽开图CVr 2hB1(1) SSS=Rrr 2表侧底O(2)圆锥的体积:V1r 2h3RCArB