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1、湖南省永州市第二完全中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值参考答案：C对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优
2、于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，因为，所以选项C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题故选C2. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A BC D参考答案：C3. 合集，则集合M= （ ） A0，1，3 B1
3、，3 C0，3 D2参考答案：A4. 设，则=A. 1 B. 2 C4 D. 8参考答案：B,所以，选B.5. 设，则的大小关系是（）A B C D参考答案：C6. 已知命题，命题，则( )A.命题是假命题 B.命题是真命题C.命题是真命题 D.命题是假命题参考答案：C略7. 若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为（）ABC(1,+)D 参考答案：A略8. “”是“”成立的A充分不必要条件. B必要不充分条件.C充要条件. D既不充分也不必要条件.参考答案：A略9. 已知函数（e为自然对数的底数），当x时，y=f（x）的图象大致是（）ABCD参考答案：D【考点】3O：函数的图象【分析】
4、利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可【解答】解：函数=，f（x）=f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，当x=时，f（）=1，排除B，故选：D10. 曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）AB4e2C2e2De2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积【解答】解：曲线y=，y=，切线过点（4，e2）f（x）|x=4=e2，切线方程为：ye2=e2（x4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=e2，与y轴的交点为：（0，e2），曲线y
5、=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=2|e2|=e2，故选D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 参考答案：12. 非零向量，的夹角为，且满足|=|（0），向量组，由一个和两个排列而成，向量组，由两个和一个排列而成，若?+?+?所有可能值中的最小值为42，则=参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算；9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出【解答】解： =|cos=2， =22，向量组，共有3种情况，即（，），（），（），向量组，
6、共有3种情况，即（），（），（，），?+?+?所有可能值有2种情况，即+=（2+1），3=，?+?+?所有可能值中的最小值为42，或解得=故答案为【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题13. 运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为 参考答案：6第一遍循环 S0，I1，第二轮循环S1，I2 ，第三轮循环S3，I3，第四轮循环S6，I4，第五轮循环S10，I5，第六轮循环S15，I6，所以输出的 I614. 高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式【
7、分析】分别计算出从10名学生中选出4名学生进入学生会的基本事件总数和满足这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，共有10名学生，从中选出4名学生进入学生会共有=210种不同情况；其中这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级有： ?=120种不同情况，故这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率P=，故答案为：15. 数列an满足（nN*）存在a1可以生成的数列an是常数数列；“数列an中存在某一项”是“数列an为有穷数列”的充要条件；若an为单调递增数列，则a1的取值
8、范围是（，1）（1，2）；只要，其中kN*，则一定存在；其中正确命题的序号为 参考答案：【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；等差数列与等比数列【分析】根据已知中数列an满足（nN*）举出正例a1=1或a1=2，可判断；举出反例a1=，可判断；举出反例a1=2，可判断；构造数列bn=，结合已知可证得数列bn是以为公比的等比数列，进而可判断【解答】解：当a1=1时，an=1恒成立，当a1=2时，an=2恒成立，故正确；当a1=时，a2=1，数列an为有穷数列，但不存在某一项，故错误；当a1=2时，a1（，1）（1，2），此时a2=10 a3=，数列不存在单调递增性，故错误；=且=得：=?令
9、bn=，则数列bn是以为公比的等比数列则bn=an=2+当时，2+的极限为2，否则式子无意义，故正确故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题16. 已知函数，.若在区间上是减函数，则的取值范围是 参考答案：略17. 设变量满足约束条件，则的最大值为 参考答案：试题分析：画出可行域（如图）. 表示可行域内的点与原点连线的斜率，其最大值为考点：1.简单线性规划；2.直线的斜率.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）在中，角为锐角,记角所对的边分别为（1）若的面积为，
10、求，；（2）若,求的面积；参考答案：19. 已知点P（3，4）是椭圆+=1（ab0）上的一点，F1、F2是椭圆的两焦点，若PF1PF2，试求：（1）椭圆方程；（2）PF1F2的面积参考答案：解：（1） 令F1（c，0），F2（c，0），PF1PF2，kPF1?kPF2=1，即 ?=1，解得 c=5，椭圆方程为 +=1点P（3，4）在椭圆上，+=1，解得 a2=45，或a2=5，又ac，a2=5舍去，故所求椭圆方程为 +=1（2） P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，SPF1F2 =|F1F2|4=104=20略20. 已知圆O的方程为（1）求过点的圆O的切线方程；（2）过点作直线与圆O交于A、
11、B两点，求的最大面积以及此时直线AB的斜率参考答案：（1）圆心为，半径，当切线的斜率存在时，设过点的切线方程为，即（1分）则，解得，（3分），于是切线方程为（5分）当斜率不存在时，也符合题意故过点的圆的切线方程为或（6分）（2）当直线AB的斜率不存在时，（7分），当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离，（9分）线段AB的长度，所以，（11分）当且仅当时取等号，此时，解得，所以的最大面积为8，此时直线AB的斜率为（12分）21. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15
12、，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可（2）XB（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可【解
13、答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的0.2；则XB（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=（）3=；P（X=1）=（）2=；P（X=2）=（）（）2=；P（X=3）=（）3=，X的分布列为：X0123P即E（X）=0=【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力22. 已知函数（其中的最小正周期为.（）求的值,并求函数的单调递减区间；（）在锐角
