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1、数字信号处理作业DFT 习题1.如果)(nx是一个周期为N的周期序列， 那么它也是周期为N2的周期序列。 把)(nx看作周期为N的周期序列， 令)(1kX表示)(nx的离散傅里叶级数之系数，再把)(nx看作周期为N2的周期序列，再令)(2kX表示)(nx的离散傅里叶级数之系数。当然，)(1kX是周期性的，周期为N， 而)(2kX也是周期性的， 周期为N2。 试利用)(1kX确定)(2kX。（76-4）2.研究两个周期序列)(nx和)(ny。)(nx具有周期N,而)(ny具有周期M。序列)(nw定义为)()()(nynxnw。a.证明)(nw是周期性的，周期为MN。b.由于)(nx的周期为N，其
2、离散傅里叶级数之系数)(kX的周期也是N。类似地，由于)(ny的周期为M，其离散傅里叶级数之系数)(kY的周期也是M。)(nw的离散傅里叶级数之系数)(kW的周期为MN。试利用)(kX和)(kY求)(kW。 （76-5）3.计算下列各有限长度序列DFT（假设长度为N）: a. )()(nnxbNnnnnx000)()(c10)(Nnanxn（78-7）4.欲作频谱分析的模拟数据以10 千赫速率被取样，且计算了1024 个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）5.令)(kX表示N点序列)(nx的N点离散傅里叶变换(a） 证明如果)(nx满足关系式：)1
3、()(nNxnx，则0)0(X。(b） 证明当N为偶数时，如果)1()(nNxnx，则0)2/(NX。 （80-14）6.令)(kX表示N点序列)(nx的N点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个N点序列。如果计算)(kX的离散傅里叶变换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。 （ 82-15）7.若)(nx为一个N点序列，而)(kX为其N点离散傅里叶变换，证明：10k2102)k(XN1)(NNnnx，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）8.长度为 8 的一个有限时宽序列具有8 点离散傅里叶变换)(kX，如图所示。 长度为 16 的一个新的序列)(ny定义为：为奇数为偶数
4、nnnxny0)2()(，试画出相当于)(ny的 16 点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）k Xk 0 1 2 3 4 5 6 7 9.令( )x n表示 z变换为( )X z的无限时宽序列，而1( )x n 表示长度为 N 的有限时宽序列，其 N 点离散傅立叶变换用1( )X k 表示。如果( )X z和1( )X k 有如下关系：1( )( ) |,0,1,2,1kNz WXkX zkN式中2jNNWe。试求( )x n和1( )x n 之间的关系。（93-22）10.令)(jeX表示序列)()2/1()(nunxn的傅里叶变换， 并令)(ny表示长度为10 的一个有限时宽序列，即0
5、n时，0)(ny，10n时，0)(ny，)(ny的 10 点离散傅里叶变换用)(kY表示，它相当于)(jeX的 10 个等间隔取样，即)()(10/2 kjeXkY，试求)(ny（ 94-23）11.讨论一个长度为N的有限时宽序列)(nx，0n和1Nn时，0)(nx，我们要求计算其z变换)(zX在单位圆的M个等间隔点上的取样。 取样数M小于序列的时宽N；即NM，试求一种得到)(zX的M个取样的方法， 它只要计算一次M点序列（这个序列是由)(nx得来的）的M点离散傅里叶变换。 （96-25）12.研究两个0n时等于零的有限时宽序列)(nx和)(ny，且时当时当20n0)(8n0)(nynx，将每
6、一个序列的20 点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变换，令)(nr表示它的离散傅里叶反变换，指出)(nr的哪些点相当于)(nx与)(ny线性卷积中的点。（96-26）FFT 习题1.假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：1,.,1 ,0)()(10)/2(NkenxkXNnknNj，试指出如何用此程序来计算如下反变换：1,.,1 ,0)(1)(10)/2(NnekXNnxNkknNj（ 193-8）2.在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本题中讨论了两种减少计算量的途径：a.研究两个分别具有离散傅里叶变换1( )X k和2( )Xk的实序列1( )x
7、n和2( )x n，令( )g n为一个复序列，12( )( )( )g nx njxn，( )G k为其离散傅里叶变换。令( )ORGk、( )ERGk、( )OIGk、( )EIGk分别表示( )G k的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用( )ORGk、( )ERGk、( )OIGk和( )EIGk表示1( )X k和2( )Xk。b.假设( )x n是一个N点的实序列， 且N可以被 2 整除，令1( )x n和2( )x n为两个/ 2N点序列，其定义为：1( )(2 ),0,1,2,.,/21x nxn nN，2( )(21),0,1,2,.,/ 2
8、 1x nxnnN试利用1( )X k和2( )Xk求( )X k。 （198-10）3.研究一个有限长度序列)(nx，并且0nn和01nNn时，0)(nx。假设我们想要计算在z平面内下列各点上)(nx的z变换之取样：)/2(kMjkrez，1,.,2, 1 ,0Mk，式中NM。试详细说出一种计算这些点上的)(zX的有效方法。 （199 页-11）4.研究一个长度为M的有限时宽序列)(nx，并且0n和Mn时，0)(nx。我们希望 计 算z变 换10)()(NnnznxzX在 单 位 圆 上N个 等 间 隔 点 上 的 取 样 ， 即 在kNjez)/2(，1,.,2, 1 ,0Nk上的取样，
9、试找出对下列情况只用一个N点离散傅里叶变换就能计算)(zX的N个取样的方法，并证明之。（a）MN（b）MN（200-12）5.)(jeX表示长度为10 的有限时宽序列)(nx的傅里叶变换， 我们希望计算)(jeX在频率)9,.1 ,0)(100/2(2kkk时的 10 个取样。 计算时不能采取先算出比要求多的取样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性：(a) 直接利用 10 点快速傅里叶变换算法。(b) 利用线性调频z变换算法。（201-13）6. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z 变换可以用来计算一个有限时宽序列( )h n在 z 平面实 z 轴上诸点kz的 z
10、变换( )H z，使a) ,0,1,.,1,kkzakNa为实数 ,a1; b) ,0,1,.,1,0kkzakNa为实数 ,ac) a)和 b)两者都行；d) a)和 b)都不行，即线性调频z 变换不能计算( )H z在 z 为实数时的取样。（203-15）Hilbert 变换习题1 令( )x n为( )x n的一个实因果序列，已知( )x n的z变换为0( )( )nnX zx n z上式为变量1z的泰勒级数， 所以它在以z=0 为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。收敛区域包括点z=，事实上，()(0)Xx。我们说( )X z是解析（在其收敛区域内）的，表示对X 加了苛刻的约束条件
11、，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据( )X z的实部确定( )X z，条件是( )x n为有限值的实因果序列。令( )x n为实（有限值的）因果序列，其z 变换为：( )( )( )RIX zXzjXz式中：RX和IX是 z 的实函数。假设jze时，RX给定为cos()jRXe（为实数）假设除了z=0 外，( )X z处处解析，试求( )X z并表示成z 的显函数。（建议用时域法解此题）（214-4）2 序列( )x n的偶部定义为：( )()( )2ex nxnxn，假设( )x n是一个有限时宽实序列，定义为0n和nN时，
12、( )0 x n。令( )X k表示为( )x n的N点的离散傅立叶变换。（a）( )ex n的离散傅立叶变换是否等于Re( )X k？（b）试求出以( )x n表示的 Re( )X k的离散傅立叶反变换。 （228-15）3 研究一个长度N 的有限时宽实序列 （即 n0,nN 时，( )x n=0） ， 此处 N 为奇数。用( )X k表示( )x n的 M 点的离散傅立叶变换，因此令( )RXk表示( )X k的实部。（a）试利用 N 来求能使( )RXk唯一确定( )X k的最小 M 值（ M=1,2 除外） 。（b）如果 M 满足（ a）中所确定的条件，则( )X k可以表示为( )R
13、Xk和序列( )U k的循环卷积。请确定( )U k。 （228-16）1(2/)0( )( )NjM nknX kx n e4 研究一个复序列x（n） ，x(n)=xr(n)+xi(n), 其中 xr(n) 和 xi(n)是实序列，序列x(n)的 z 变换X(z) 在单位圆的下半部分为零。即， 2时， X(ej )=0. x(n) 的实部为xr(n)=1/ 2,01/ 4,20,nn其他试求 X(ej)的实部和虚部。5 令 H 表示理想希尔伯特变换运算，即Hx(n)=k=-() ( )h nk x k式中 h(n)由（ 7.48）式给定。试证明下列特性：（a）HHx(n)=-x(n). （b
14、）n=-( ) ( )0 x n H x n. (提示：利用帕斯维尔定理) （c）Hx(n)*y(n)=Hx(n)*y(n)=x(n)*Hy(n),式中 x(n) 和 y(n)为任意序列。 （233-19）Walsh 函数1 a) 时间序列if,j=0,1,2, .7 为0 0 1 1 0 0 1 1 将其作离散Walsh 变换b)将上述序列Hadamard 变换2 设输入序列if为0 0 1 1 0 0 1 1 , 并将此输入序列作a=3 的并元移位， 试求 Wz (N) 3 给定两个时间序列jjff21，定义两个序列的并元时间域相关和并元时间域卷积为：a)并元时间域相关为：10212112
15、1*NmjjjjmfmfNffK12, 1 ,0Njb)并元时间卷积为：102121121*NmjjjjmfmfNffK若)()(2211mWfmWfjj试证明：1)并元相关定理)(2111mWKj2)并元时间卷积定理)()(2112mWmWKj提示：a 先证明 2) b 在证明过程中利用n=(nm)n 关系式4 给定时间序列为if=1 2 1 1 3 1 1 2, 求快速哈达玛变换系数Bf(n), n=0,1,2 .75 用快速算法求if=1,2,1,1,3,1,1,2 的 Walsh 变换6 设（ 0 1）区间的取样数为N=23求),4() 3,4)2, 4) 1jHjpjwWa lWa lWa l
