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1、轴对称、等腰三角形经典试题作者:日期:【知识点回顾】轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这
2、就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成”等角对等边”。）推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2:有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等 于斜边的一半【典型例题】例 1.如图， ABC 中，AB AC, A 100 , BD 平分 ABC。求证：AD BD BC o分析：从要证明的结论出发，在
3、BC上截取BF BD ,只需证明CF AD , 考虑到12 ,想到在BC上截取BE BA ,连结DE,易得，则有AD FD ,只需证明DE CF,这就要从条件出发，通过角度计算可以得出 CF DF DE。证明：在BC上截取BE BA, BF BD ,连结DE、DF在 ABD 和 EBD 中，BA BE, 12, BD BDABD EBD （SAS）AD DE, BED A 100 DEF 8019又 AB AC, A 100ABC1 2(180100 ) 40112 - 40202而 BD BF1BFDBDF -(180DEFDFE 8012) -(18020 ) 80DE DFDFE 80
4、, C 40FDCDFE C 8040FDC CDF FC40AD DE DF FCBC BF FC BD AD即 AD BD BC【随堂作业】B.有一个内角是45直角三角形1、下列图形中，不是轴对称图形的是 A.有两个内角相等的三角形和120的三角形C.有一个内角是30的直角三角形D.有两个角分别是302、下列说法中正确的是（）角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 角是轴对称图形线段不是轴对称图形线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等D.在：山A.B.C.3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示实际时间是A. 21: 10 B. 10: 21 C. 10: 51 D. 1
5、2: 014、下列推理中，错误的是()A . ” A= / B= /C ,.ABC是等边三角形B . VAB= AC 且/ B= /C,.ABC是等边三角形C . =/人=60 , / B= 60 ,.ABC是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为A . 9cmC . 9cm和 12cm6、若等腰三角形的一个外角为D . VAB= AC / B= 600 ,.ABC等边三角形2cm和5cm,则这个三角形的周长是B. 12cmD.在9cm与12cm之间 130 ,则它白底角为.7、如图，ABC是等边三角形,CBD 90 , BD BC ,贝U 1的度数是C8、如图，在等腰三角形占八、上一个动点,
6、的 中 点， 若的最小值为 2 , 则的周长A-B.C.D.D作DE/ BC交AC于E,若 )D. a9、在等边三角形ABC中，CD是/ACB的平分线, ABC勺边长为a,则 ADE勺周长为 (4A . 2a B . -aC. 1. 5a310、如占八、A.B.C.D.11、如图7111,在RtzXABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC 上，/ BAE Z BAC= 1: 5,则/ C=.97-11212、如图7112, ZBAC= 30 , AM是/ BAC勺平分线，过 M作ME/ BA交AC于 E ,作 MDL BA 垂足为 D, ME= 10cmi 则 MD-.13、已知：
7、如图7120,等腰直角三角形ABC中，/A= 90 , D为BC中点，E、 EA= CF.求证：DE= DF.14、已知：如图ZXABC中，AB=AC , AD和BE是高，它们交于点H,且AE=BE, 求证：AH=2BD .【课后作业】1、如图：等边三角形 ABC中，BD = CE, AD与BE相交于点 则/ APE的度数是（）A. 45B. 55C. 60D. 7502、等腰三角形底边长为5cm, 一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为（）A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或 8cmD.上都不对3、如图， ABC 中，AB=AC, /A = 36 , BD、CE 分另为/
8、ABC 与/ ACB 的角平分线，且相交于点F,则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个4、如图， /MPNk 25 , 又 PA AB= BC= CD,贝U/ DC附 度。5、已知：在 ABC中，/A=20 ,D 为 AB上一点，AD=DC,且 / ACD： / BCD=2： 3,则/ ABC=6、等边 ABC中，点P在4ABC内，点Q在4ABC外，且/ ABP=/ACQ, BP=CQ,问4APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.BC7、已知：如图， AD平分/ BAC , EF垂直平分 AD交BC延长线于F,连结AF . 求证:8、如图， ABC中，/ABC=2/
9、C, AD是BC边上的高，B至U点E,使BE=BD 求证：AF=FC19如等边 ABC中，分别延长BA至点E,延长BC至点使AE=BD 求证：EC=ED15.如图， ABC 中，AB=AC, BE=CF, EF 交 BC 于点G求证：EG=FG20.如图，四边形 ABCD 中，NBAD+/BCD=18O0 , AD. BC的延长线交于点F, DC. AB的延长线 交于点E, NE, NF的平分线交于点H 求证：EEFH、选择题（每小题 3分，共30分）1 .下列图案中是轴对称图形的是（）2.以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是3.到三角形的三个顶点距离相等的点是A.三条角平分线的交点C.三
10、条高的交点4.已知点P在线段AB的中垂线上，点D（）B.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点（）D,不能确定Q在线段AB的中垂线外，则 A. PA+PBQA + QB B. PA+PBQA + QB C. PA+ PB = QA + QB5.等腰三角形的一个外角等于100。，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A. 40 , 40 B. 80 , 20 C. 50 ,50 D. 50 , 50 或 80 , 206 .下列说法：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；等腰三角形的两腰上的中线长相等；等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；等腰三角形的一边长为8, 一边长为16,那么它的周长是
11、 32或40.其中不正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47 .在4ABC 中，AB=AC, BD 平分/ ABC ,若/ BDC =75 ,则/ A 的度数为（）A. 30B. 40C, 45 D, 608 .在等腰三角形 ABC中，AB =AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A. 79.如图,B. 11C. 7 或 11 D. 7 或 10在 ABC中，AC=AD = BD, /DAC=80 ,则/ B 的度数是 （）B. 3510.如图，直线 l是C. 25D, 20条河，P,Q两地相距8 km,P, Q两地到l的距离分别
12、为2 km, 5 km,2/20欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向 P, Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）11.粗圆体的汉字“口”“天”等都是轴对称图形，请再写出至少三个以上这样的汉字 . 12.如图， ABC中，DE垂直平分 AC,与AC交于点E,与BC交于点D, / C=15 , /BAD =60 ,则 ABC是 三角形.13 .等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20。，则其顶角的大小为 .14 .如图，已知 ABC中，AB=AC, AB边上的垂直平分线 DE交AC于点E, D为垂足, 若/ ABE : / EBC = 2: 1 ,则/
13、A =.第门跑邮乂建第16国第17总15 .在 ABC中，AB = AC, ZA=36 ,角平分线 BE与CD相交于点F,如果不添加其 他线和字母，那么图中等腰三角形有 个.16 .如图，AD是4ABC的中线，/ ADC = 60 , BC=4,把 ADC沿直线 AD折叠后， 点C落在C的位置上，那么 BC的长为 .17 .如图，在 ABC中，AB=AC, AD是/ BAC的平分线，点 E是AD的任一点，若 ABC的面积为12 cm,则图中阴影部分的面积是 cm.18 . AABC是等边三角形， 点D是BC边上的任意一点，DELAB于点E, DFXAC于点F, BNXAC于点N,则DE, DF, BN三者的数量关系为 .三、解答题（共46分）19 . （6分）（2013.盐城）如图是 3x3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后 的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形 ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图 案，例如图中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？20 .
