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1、刖舌在科学技术发展到跨进21世纪的今天，应该交给大学生什么样的数学，数学科学的哲 学和方法论、数学应用的思维方式如何，以及把数学作为技术开发的工具是怎么样的等等, 这一系列问题L2经尖锐地摆在工科数学教育工作者面前。目前，大家（2经形成的共识是，讲 授数学知识不能仅仅局限于伴随牛顿力学产生和发展起來并于一 百來年己经形成的经典理 论，U是不仅教给学生数学基础理论，还要教给学生应用数学的技能，特别是数学建模和计 算机模拟的木领；数学应用的思维方式在捉倡抽象思维的同时更强调形象思维或直感思维, 使用几何方法，形象化的描述及计算机图示，因为图形对想象力和创造力是强有力的刺激因 素；数学应用要把计算机
2、及其技术作为不可缺少的工具和手段，使大学生学习计算机同数学 科学的学习与研究紧密结合，不但会用计算机，而且能理解计算机给出的答案。这些共识就是数学教育改革所追求的方向和目标。绪论：如何认识数学数学是人类最古老同时又是最富生命力的知识领域之一。在近儿百年，儿乎每个世纪, 数学都岀人意料地获得惊人的发展而创造出新的黄金时代然而，时至今日仍有不少人对学 习、研究数学的目的和意义产生种种疑惑，特别是刚进入高等学校的接受工程技术教育的学 生们总是对学习数学产生一系列的疑问，问的最多的是“学习数学対以后所从事的技术工作 有什么用？ ”。甚至有人认为随着计算机技术的发展，大量的计算问题可以山计算机软件处 理
3、，学习数学知识己不那么重要了。应该说这是我们数学教育现在必须冋答的一-个带有根本 性的问题。当然，大多数人学习数学既不想当数学家，也不想从事数学教育工作，只是为了 进一步学习专业知识和技术而学习数学，而我们面向工程技术教育的学生讲授数学的方式以 及学生的学习方法确实有很多地方值得认真反思。一方面，过分的注重纯数学”的严密休 系、严格的证明和复杂计算，而不注重它的应用性和工具性（科学语言）；另一方面，只满 足于会作题、应付考试的“应试学习”方式，致使学生们无法对数学知识、思想、方法及其 应用价值有明晰的认识。为此，我们提出新的尝试，既传授基本的数学知识，又训练应用技 能。本章的目的是想让学生对数
4、学有一个基本的概括性认识。一、数学无处不在数学是研究数和形及英关系的一门科学。它以研究现吋世界中的数量关系和空间形式为 主要任务。通俗地讲，数学是以数字、符号、形状和模式來代替文字的一套特殊语言系统。 或者说，数学是一种能够描述各种客观规律的语言，是任何学科都耍用到的、无比有用、无 所不能、神通广大、全球共通的一种特殊语言。止像己故的著名数学家华罗庚教授所说，宇 宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，口用之繁，数学无处不在, 凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，硏究最（或形）的关系、量（或形）的变化、 量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为
5、语言工具。我们现在无法真止理解为什么毫无智能的动物、植物，其至低等生物，都会进行奇特的 数学创造。如某些细菌的繁殖会满足一些奇妙的数学规律，植物的花瓣形成精美的几何图形, 某些贝壳和松果具有螺旋形生长模式等等。自然界充满着数学概念的实例。这就是数学之所 以成为描述、解释自然现象的语言的原因。例如，圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造, 要分析这个美丽结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网中的数学概念是惊人的：半径、 弦、平行线段、三角形、全等对应角、对数螺线、悬链线和无理数e。我们知道蜜蜂营造的蜂方也是奇妙的数学图形。十八世纪初，法国学者马拉尔奇测量了 蜂房，发现止而看去它是镶嵌得如此天衣无缝的
6、止六角形，蜂王的底都是山三个全等的菱形组成的，菱形的钝角都是109 28,锐角都是等于70 32（图0-1）,这不仅是蜂房的空间结构呈如此精美的几何形状，而且据巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格与苏格兰数 学家耳克劳林的理论计算，这种结构消耗最少的材料和最少的“工时”，这里竞然符合垠优 化的数学原理，真是不可思议！蜜蜂没有学过镶嵌理论、求解最大值和最小值方法、解线性 代数问题和求含约束条件的最优解的艺术，而它却实实在在进行了奇妙的符合数学原理的工 程技术创造，这不正是把自然界与数学联系起來的例证吗？在矿物结构中，同样可以找到许多更为奇妙的空间图形，如食盐矿的晶体呈正方休形状, 明矶的品体呈止八面
7、体形状，而矿物质中英它更多的晶体呈更为复杂的几何形状，如十字架 石品体呈止交或斜交十字架双品形；电气石晶体色泽美丽可作为宝石，呈拄状品形，拄面有 明显的纵条纹，横断面呈弧线三角形；如石榴石的品体结构呈菱形十二面体或四角三八面体 的复杂美妙的儿何形状，透明色泽的也可作为宝石等（图0-2）。食盐电气石离心率为:DB图0-2再从宏观來看,我们所生活的地球与它的卫星一月亮Z间有着紧密的联系,月亮是沿着 椭圆形轨道绕地球旋转的。轨道的远日点距离为406700公里（最大），近日点距离为356400 公里（最小），亿万年来，都是如此周而复始地按此规律运行。我们所处的宇宙里，天体之 间运行规律无一不是精确的数
8、学关系式。伟大的天文学家开普勒在谐和宇宙一书中进一 步研究行星运动规律，发现了著名的开普勒行星运动运动三大定律：（1）行星绕太阳运行的轨道是椭圆形的，而太阳在椭圆的一个焦点上。这个定律说明 了行星运动轨道的数学形式为：2 2/2 1 2运动方程为：厶+厶- = 1, P =-a2 h21-cos。（2）行星的向径（行星与太阳的连线） 在相等的时间内扫过相等的而积。这个定 律说明了行星的运动速度的数学形式为：5/ =S +S/.（如图 0-3 所示）（3）行星绕太阳公转周期的平方与它们到太阳的平均距离的立方成止比例。这个定律说明行图0-3a3 GM星行星运动的周期性。事实上，说明r =亍(其中a
9、表示行星到太阳的平均距离，T T24沪表示公转周期，G为万有引力常数，M为太阳质量)。三定律的发现，不仅使人们准确地预先计算出行星的未来的位置，编制成行星的星历表 供航海与大地测量使用，更重要的是人们可以利用数学的帮助去发现新的行星果然，在开 普勒以后的一百年后，德国天文学家提出在行星的轨道间缺一颗行星，1781年，徳国天文 学家威廉赫歇发现了这颗新星，这就是著名的天王星。19世纪中叶,法国天文学家勒维耶(1811-1877)和英国天文学家亚当斯(1819-1892), 分别独立计算岀一颗新行星,命名为海王星。这些行星运动的规律、以及新行星的发现，都 是数学方法的光辉应用的结果。目前己发现了距
10、太阳约60亿公里的垠遥远的一颗大行星冥 王星，因此，人们己经知道了太阳系有九大行星。而口在火星与木星Z间发现两千多颗小行 星。A阳系所在的星系，成为银河星系银河星系的而目己研究的比较清楚了。它的形状像 个铁饼，直径io万光年，中央厚度约1万光年银河系中的物质分布成旋涡状，状似螺线, 太阳系在银河系的边沿。90年4月美国发射A空的哈伯望远镜，观察到遥远星系的状况， 并发现这些星系的运行规律与人们利用数学计算推测的结果几乎是一致的。如今，人们利用 数学不仅能计算出星系的运行规律，|佃口还能计算出恒星的寿命，以及太阳系、地球、宇宙 的年龄等等，这些研究成果越來越使人类更清晰地了解我们的宇宙过去、现在
11、和未來。至于人类自身的发明创造，更与数学有密切的联系。高耸入云的摩天大楼、大跨度的大 桥、高性能的电子仪器设备、人造卫星、航天飞机、计算机网络与信息通讯设施等等，这些 全是人类数学智慧的结晶。二、数学伴随人的一生从婴儿出生的第一刻起，父母要记他的出生时间、医生要为他最体重和身长，还要检杳 各项健康指标，定时、定量哺乳、进食，这些都于数学有关，婴儿一出生就遇到了数学，并 在以后的时光里，数学将帮助婴儿健康成长。随着幼儿的成长，越來越离不开数学。一冃人开口学说话，大人开始教数“1,2, 3,”, “识数”是人生的第一课。后來逐渐能直观地识别物体大小、东西的多少，这就有了初步的 数量概念，漫漫地大人
12、教他学习画三角形、止方形和圆等等。当你会到商店买东西，就学会 了简虹计算；正是有了这些初步的数量概念，才会有时间概念，知道什么时候看电视、什么 时间睡觉，也会记住一-些重要的节日和自的生日等；也止是有了这些初步的儿何图形概念 和简小计算能力，才使幼儿逐渐具有了数量、运算、空间、形状等初始的数学思想意识。不 难想象,如果我们人类没有这些数、量、空间、形状与关系的思想意识，人类将和其它动物 一样,陷入何等浑噩无知与黑暗之中,那将是非常可怕的混沌的时代。事实上，人类的祖先 开启智能的标志之一，就是有了数最和几何形状的观念和意识。当我们进入小学、中学学校学习,开始正式学习数学这门学科,懂得了更为深奥的
13、数学 语言和图形语言。知道了整数、小数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数和复数， 明白了相等与不等、方程与函数、有限与无限、数列与极限；懂得了图形的全等与相似、直 线、圆、轴对称和中心对称、平移、旋转、标量、矢量、坐标、止弦曲线、余弦曲线、抛物 线、椭圆、双曲线，多面体、旋转体，空间曲线和曲面等等。我们也学会了加、减、乘、除、 乘方、开方，整式、分式、幕式、根式、方程式、函数式，等式、不等式，排列、组合、二 项式展开的运算，学会了几何作图、等分、等积变形、分割、展开、放大、缩小、平移、旋 转、反射以及无限细分与无限积累等数学方法。这样以來我们的大脑里已经装进了人类数千 年长期总结积累的初
14、等数学知识的精粹与思维的模式，使我们的思维方式更科学化了，也就 是说，数学训化了我们的大脑，使我们更聪明睿智了。进入高等教育阶段，我们要成为某个学科或技术领域的专门人才，耍学习系统的专业知 识和技术，就需要更多、更深入的数学知识。我们要弄懂函数与极限、函数与连续，函数的 导数、微分、不定积分、定积分、曲线积分、曲面积分，拉氏变换和逆变换，级数、傅立叶 级数与函数的泰勒展式，微分方程，行列式、矩阵、线性方程纽和n维向量，概率统计，图 论，线性规划与动态规划等-係列数学概念和知识，同时我们还要学会利用这些概念和知识, 会计算变化率、改变量，会分析函数的性质和函数图形的特征，会求函数的极值，会进行近
15、 似计算与误差分析，会求函数曲线所围成的图形的面积、曲线长度和曲面体积，会求解一阶 线性微分方程和二阶帘系数微分方程，会求一些函数的拉氏变换和逆变换，会把一个函数展 成幕级数、把周期函数展成傅立叶级数，会求行列式的值、会进行矩阵变换和解线性方程组, 会求矩阵的特征值和特征向最，会求概率和进行简单的统计分析，会利用图论方法、线性规 划和动态规划解决一些优化问题，会利用已有的数学知识和方法建立数学模型等等。十余年的数学学习，不仅增长了知识，还学会了逻辑思维，就这一点对人的帮助垠大。 当你会归纳、类比、联想，会灵活处理问题，增强了直觉能力，有了数感，有了形感时，那 你会变得更聪明、智慧。当你走向技术
16、或管理岗位，经常要借助计算机进行工程计算或经济核算，经常要进行分 析、判断和决策。这使你感到通过数学培养出的能力有了用武之地。目前出现的一些优秀数 学软件功能非常强大，不仅能进行数值计算，而口还能进行符号运算，这不仅使繁琐的计算、 推导变得轻松自如，而口也能协助我们进行逻辑思维，作出止确判断。因此学会利用流行的 数学软件已是工程师、经济师们必不可缺学习任务。我们要相信，这一系列数学知识的掌握和数学能力的培养，是你成为一名高级技术或管 理人才的基础。我们不难发现，如今的社会生活信息化程度越来越高，终身学习己经成为人的一种特别 需要，“会学习”己成为当今社会对人的一种基本要求。然而，“会学习”的前提是必须具备 通过数学培养出的足够的“阅读”能力和逻辑思维能力。申实证明，没有经过数学逻辑思 维训练的人，一般不会有健全的学习能力。当然
