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1、m序列在扩频通信中的应用研究目录第一章 绪论21.1 研究背景与意义21.2 伪随机序列理论的发展历史与研究现状21.2.1 伪随机序列的发展历史21.2.2 伪随机序列的研究现状31.3研究内容4第二章 序列的基础理论52.1有限域上的基本概念52.1.1 有限域的代数结构5212有限域上的迹函数理论622线性反馈移位寄存器序列8第三章 m序列133.1 m序列的产生1332 m序列的基本特性14第四章 m序列在扩频通信中的应用1741 扩频技术的基本概念174.2 扩频通信的理论基础184.3 扩频技术的工作方式 1844 扩频技术的特点20致 谢24参考文献2526第一章 绪论1.1 研
2、究背景与意义随机噪声在通信技术中最初是作为有损通信质量的因素受到人们重视的,信道中存在的随机噪声会使模拟信号产生失真，或是数字信号解调后出现误码；同时，它也是限制信道容量的一个重要因素。然而，随机噪声并非一无是处，早在20世纪40年代末，信息论的奠基人香农(Shannon)就曾指出，在某些情况下，为了实现最有效的通信，应采用具有白噪声统计特性的信号。另外，为了实现高可靠性的保密通信，也希望利用随机噪声。然而，利用随机噪声的最大困难在于其太过“随意”，难以重复产生和处理。直到20世纪60年代，伪随机噪声的出现，才使这一难题得以解决。伪随机噪声具有类似于随机噪声的一些统计特性，同时又便于重复产生和
3、处理。由于它具有随机噪声的优点，同时又避免了随机噪声的缺点难以重现和处理，因此获得了日益广泛的实际应用。目前，在扩频通信、流密码、信道编码等领域有着十分广泛的应用。 1.2 伪随机序列理论的发展历史与研究现状 1.2.1 伪随机序列的发展历史伪随机的理论与应用研究大体上可以分成三个阶段;（1）纯粹理论研究阶段（1948年以前）；（2）m序列研究的黄金阶段（1948-1969）；（3）非线性生成器的研究阶段（1969-）;1948年以前，学者们研究伪随机序列的理论仅仅是因为其优美的数学结构。最早的研究可以追溯到1894年，作为一个组合问题来研究所谓的De Bruijn学历；上世纪30年代，环上的
4、线性递归序列则成为人们的研究重点。1948年Shannon信息论诞生后，这种情况得到改变。伪随机序列已经被广泛的应用在通信以及密码学等重要的技术领域。Shannon证明了“一次一密”是无条件安全的，无条件保密的密码体制要就进行保密通信的密钥量至少与明文量一样大，因此在此后的一段时间内，学者们一直致力于研究具有足够长周期的伪随机序列。如何产生这样的序列是20世纪50年代早期的研究热点。线性反馈移位寄存器（LFSR）序列是这个时期研究最多的，因为一个n级LFSR可以产生周期为的最大长度序列，而且具有满足Womb随机性假设的随机特性，通常称之为m序列。这段时期的研究奠定了LFSR序列的基本理论。但是
5、，在1969年Massey发表了“移位寄存器综合与BCH译码”一文，引发了序列研究方向的根本性变革，从此伪随机序列的研究进入了构造非线性序列生成器的阶段。Berlekamp-Massey算法（简称B-M算法）指出；如果序列的线性复杂为n，则只需要个连续比特就可以恢复出全部的序列。从这个结论就可以看出二序列是一种“极差”序列，它的线性复杂度太小，因而不能够直接用来作流密码系统的密钥流序列。从这里还可以看到仅仅靠Golomb的三个随机假设来评测序列是不够的，还需要其他的一些指标。此后直到今天，密码学界的学者们一直在努力寻找构造“好”的伪随机序列的方法。1.2.2 伪随机序列的研究现状迄今为止，人们
6、获得的伪随机序列仍主要是pc（相控）序列，移位寄存器，Gold序列，GMW序列，级联GMW序列，kasami序列，Bent序列（m和M序列），No序列，其中m序列是最有名和最简单的，也是研究的最透彻的序列，m序列还是研究其他序列的基础，它序列平衡，有最好的自相关特性，但互相关满足一定条件的族序列数很少（对于原多项式的阶数小于等于13的m序列，互为优选对的序列数不多于6），且线性复杂度很小，m序列族序列数极其巨大（当寄存器级数等于6时，有226个序列）。但其生成困难，且其互相关特性目前知之甚少，一般很少用。Gold序列互相关函数为3值，序列部分平衡，有良好的相关特性，族序列数相对较大，但它有致命
7、的弱点，线性复杂度很低，仅是相同长度的m序列的两倍，这制约了Gold序列的广泛应用，特别在抗干扰及密码学中的应用，GMW序列具有序列平衡，线性复杂度大，自相关性能好（同m序列）等优点。它是非线性序列，且数量比m序列多。作为单个序列GMW序列有优势，但一族GMW序列满足一定互相关条件的序列数很少，一般不用于多址通信作地址码。级联GMW序列平衡性和相关性同于GMW序列，族数比GMW序列多，一般情况下，线性复杂度比GMW序列大。Kasami序列分小集Kasami序列和大集Kasami序列，小集Kasami序列族序列数大，且互相关值达Welch下界，大集Kasami序列族序列数非常大，互相关较小集Ka
8、sami序列为劣，它们都有共同的弱点，序列是不平衡的，线性复杂度大（但比m，Gold序列稍大），Bent序列是80年代初构造出来的，具有序列平衡，但相关值达Welch下界，族序列数多，线性复杂度大等优点，它在整个80年代，90年代大放光芒，也是目前综合性能最好的伪随机序列，但Bent序列构造难，未有满足一定要求的快速算法，No序列是80年代末构造出来的一种新型伪随机序列，它的突出优点是线性复杂度很大，且相关值可达welch下界，族序列数多，但有序列不平衡的弱点。1.3 研究内容本文首先介绍了序列的研究背景和发展现状，接着研究了有关序列的基础知识（有限域和反馈移位寄存器），然后研究m序列的产生及
9、其性质，并分析了它们在扩频通信方面应用的优缺点以及存在的问题等等。第二章 序列的基础理论2.1有限域上的基本概念我们研究的序列都是有限域上的序列，因此，作为序列设计与分析基础理论知识，我们有必要介绍一下有限域的相关理论。2.1.1 有限域的代数结构定义21 含有有限个元素的域叫做有限域(Galois域)。最简单而又最基本的有限域是整数环Z模P的剩余类，其中p为素数为方便起见，用GF(p)=0，1，p一1)，表示p元有限域，而对于一般的有限域则用GF(q)来表示，记，表示是GF(q)中的乘法群，它是一个q-1阶循环群。域F的所有子域的交集仍是F的子域，我们称这个子域为F的素域，易知素域是F的最小
10、子域设F是任意域，则F的素域或者同构于有理数域Q，或者同构于整数环Z模某个素数P的剩余类。定义22 设F是任意域，如果F的素域同构于有理数域Q，则称域F的特征为0，记为CharF=0；如果F的素域同构于整数环Z模某个素数P的剩余类环，则称域F的特征为p，记为CharF=p。域特征的定义还等价于：设e是域F的单位元，如果对于任意正整数n，均有，则称F的特征为0；否则称满足的最小正整数n为域F的特征若域F的特征为P，则对于任意。定理21 设有限域F的特征为P，则对F中任意元素， 。 设E是域F的扩域，0E，如果存在Fx中的非零多项式f(x)，使f()=0，则称为F的代数元；否则称为F的超越元如果E
11、中每个元素都是F的代数元，则称E为F的代数扩张；否则称E为F的超越扩张域F的全体代数元组成的集合称为F的代数闭包。定理22 设F是一个域，f(x)FX为不可约多项式，则存在F的扩域E，使得E包含F的全部根若E为F的代数扩张，则E中每个元素都是F的代数元，从而是Fx中某个不可约多项式的根。定义23 设E是F的代数扩张，f(x)是Fx中首项系数为l的多项式，Deg f(x)1，如果满足：(1) f(x)在E中能够分解成一次因式的乘积，即(2) ，即E是F添加得到的有限扩张。则称E是f(x)在F上的分裂域。由分裂域的定义知，f(x)在F上的分裂域实质上是F包含f(x)全部根的最小扩域对每个素数P和每
12、个正整数n，都存在一个元有限域，并且元有限域都同构于在GF(p)上的分裂域。设在有限域上的极小多项式定义为上以a为根的首项系数为1且次数最低的多项式，记之为。一般而言，若a是上的代数元，则a的极小多项式一定是中的不可约多项式有限域的乘法群的生成元称为的本原元，而以本原元为根的极小多项式称为的本原多项式。若f(x)是中n次不可约多项式，则包含f(x)的全部根特别地，如果a为f(x)在中一根，则f(x)在中的n个不同根为，称这些根为f(x)的共轭根。定义24 设，若f(O)0，则f(x)的阶定义为满足的最小正整数e，记为；若f(O)=0，则存在hN，使得,其中g(O)0，这时f(x)的阶定义为g(
13、x)的阶。多项式f(x)的阶也称为f(x)的周期或f(x)的指数，也记为P(f)。定理23 设为n次不可约多项式，则 等于f(x)的任意一个根在中的阶。推论21 若为n次不可约多项式，则。212有限域上的迹函数理论定义25 设有限域是有限域的e次扩张，则对任意的，定义到的迹函数如下：迹函数具有下列性质： (1)对任意， (2)对任意， (3)对任意, (4)对任意， ; (5)对任意，方程在中解数恰为 (6)对任意，其中。由性质(3)知，迹函数是从有限域到它的一个子域上的线性映射进一步，它还可以描述出所有从到上的线性变换，并且与选择的基无关。一般情况下，有限域E到它的子域F的迹函数可以记为,
14、在不至于混淆的情况下也可以记为Tr()。定理24 设F是一有限域，E是F的一个有限扩张，E可看作是F上的向量空间，则从E到F的线性变换可表示为,其中 。 进一步地，如果,E，则有。 定理25 设F=GF(q)是一有限域，E是F的一个有限扩张，则对当且仅当存在E，使得。定理26 设p是素数，为P次单位根，表示到GF(p)的迹函数，则对于 ，有定理26对于求解序列的互相关函数起着至关重要的影响，目前大多数的序列能够求出其互相关函数都归功于这个引理。设F是有限域K的有限扩张，是F在K的一组基，则对于任一元素F有唯一的表示：其中，1jm且由唯一确定从而，是F到K的线性变换，根据定理24，存在使得对所有F都成立,令,则当j=i时，；当时， 若对等式两边同时乘以，再取迹函数便可得从而，也是有限域F在其子域K上的一组基。定义26 设K是有限域，F是K的有限扩张，和是F到K上的两组基，若对1i、jm，有 则称这两组基为对偶基。由上面的讨论知道，对于F在K上的任意一组基，都存在一组对偶基。记为有限域GF(p)上的n维向量空间，则有限域中元素x与向量空间中元素有如下关系：其中，1in，是有
