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1、5-6 余数问题教学目标余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富,题目难度较大的学问体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数学问点,所以学好本讲对于同学来说特殊重要.许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了。”余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理）, 及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用.学问点拨一，带余除法的定义及性质一般地,假如a 是整数, b 是整数（ b 0） ,如有 a b=q r ,也就是 a b q r, 0 r b .我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1) 当 r0 时：我们称 a 可
2、以被 b 整除, q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2) 当 r0 时：我们称 a 不行以被 b 整除, q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完善的带余除法讲解模型:如图这是一堆书, 共有 a 本,这个 a 就可以懂得为被除数, 现在要求依据 b 本一捆打包, 那么 b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个 c 就是商,最终仍剩余d 本,这个 d 就是余数.可编辑资料 - - - 欢迎下载这个图能够让同学清晰的明白带余除法算式中4 个量的关系.并且可以看出余数确定要比除数小.二，三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以
3、c 的余数之和,或这个和除以c 的余数.例如： 23 , 16 除以 5 的余数分别是3 和 1,所以 23+16=39除以 5 的余数等于 4 ,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数.例如： 23 ,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23+19=42除以 5 的余数等于 3+4=7除以 5 的余数,即 2.2. 余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数.例如： 23 , 16 除以 5 的余数分别是3 和 1,所以 23 16 除以 5 的余数等于 3 1=
4、3 .当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数.例如： 23 , 19 除以 5 的余数分别是3 和 4,所以 23 19 除以 5 的余数等于34 除以 5 的余数,即2.3. 同余定理如两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数, 那么称 a，b 对于模 m 同余,用式子表示为： ab mod m ,左边的式子叫做同余式.同余式读作： a 同余于 b,模 m .由同余的性质,我们可以得到一个特殊重要的推论： 如两个数 a, b 除以同一个数 m 得到的余数相同,就a, b 的差确定能被m 整除用式子表示为：假如有ab mod m ,那么确定有 a b mk,k是整数
5、,即 m|a b三，弃九法原理在公元前 9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本花拉子米算术,他们在运算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于可怕以前的运算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验可编辑资料 - - - 欢迎下载方式是这样进行的：例如：检验算式 12341898189226789671789028899231234除以 9的余数为11898除以 9的余数为818922除以 9 的余数为 4678967除以 9 的余数为 7178902除以 9 的余数为 0这些余数的和除以9 的余数为 2而等式右边和除以9 的余数为 3 ,那么上面这个算式确定是错的.上述检验方法恰
6、好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即假如这个等式是正确的,那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以9 的余数确定与等式右边和除以9 的余数相同.而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时,经常不用去列除法竖式进行运算,只要运算这个自然数的各个位数字之和除以9 的余数就可以了, 在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去, 所以这种方法被称作“弃九法” .所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9 除的余数, 只要先运算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9 除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相
7、乘，相除和乘方的结果对不对同样适用留意：弃九法只能知道原题确定是错的或有可能正确,但不能保证确定正确.例如：检验算式 9+9=9时,等式两边的除以9 的余数都是 0 ,但是明显算式是错误的但是反过来,假如一个算式确定是正确的,那么它的等式2 两端确定中意弃九法的规律.这个思想往往可以帮忙我们解决一些较复杂的算式迷问题.四，中国剩余定理可编辑资料 - - - 欢迎下载1. 中国古代趣题中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国
8、剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3 人一列余 1 人， 5 人一列余 2 人， 7 人一列余 4 人， 13 人一列余 6 人.刘邦茫然而不知其数.我们先考虑以下的问题：假设兵不满一万,每5 人一列， 9 人一列， 13 人一列， 17 人一列都剩 3 人, 就兵有多少？第一我们先求 5 ，9 ，13 ，17 之最小公倍数 9945 （注：由于5 ，9 ，13 ，17 为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积） ,然后再加 3 ,得 9948 （人）.孙子算经的作者及的确著作岁月均不行考,不过依据考证,著作岁月不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,
9、中国人发觉得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理.中国剩余定理（ Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席特殊重要的位置.2. 核心思想和方法对于这一类问题, 我们有一套看似繁琐但是一旦把握便可一通百通的方法,下面我们就以 孙子算经中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3 ,5 ,7 后,得到三个余数分别为2 , 3, 2. 那么我们第一构造一个数字,使得这个数字除以3 余 1 ,并且仍是 5 和 7 的公倍数.先由 5735,即 5
10、和 7 的最小公倍数动身,先看35 除以 3 余 2 ,不符合要求,那么就连续看5 和7 的“下一个”倍数 35270 是否可以,很明显70 除以 3 余 1类似的,我们再构造一个除以5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,明显21 可以符合要求.最终再构造除以 7 余 1,同时又是 3 ,5 公倍数的数字, 45 符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：可编辑资料 - - - 欢迎下载270321245k3,5,7233k3,5,7,其中 k 是从 1 开头的自然数.可编辑资料 - - - 欢迎下载也就是说中意上述关系的数有无穷多,假如依据实际情形对数的范畴加以限制,那么我们就能找
11、到所求的数.例如对上面的问题加上限制条件“中意上面条件最小的自然数”,那么我们可以运算 27032124523,5,723 得到所求假如加上限制条件“中意上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23 加上 3,5,7 即可,即 23+105=128.例题精讲模块一，带余除法的定义和性质【例 1 】 第五届学校数学报竞赛决赛 用某自然数 a 去除 1992 ,得到商是 46,余数是 r ,求 a 和 r 可编辑资料 - - - 欢迎下载【解析】由于 1992是 a的 46倍仍多 r ,得到 19924643.14,得1992464314 ,所以 a43,r14 可编辑资料 - - - 欢迎下
12、载【巩固】 1013除以一个两位数,余数是12求出符合条件的全部的两位数【解析】 1013121001, 10017 11 13 ,那么符合条件的全部的两位数有11,13,77,91 ,由于“余数小于除数” ,所以舍去 11,答案只有 13,77,91 .【巩固】 清华附中小升初分班考试甲，乙两数的和是 1088 ,甲数除以乙数商 11余 32 ,求甲，乙两数【解析】 法 1 由于 甲 乙 1132 ,所以 甲 乙 乙 1132乙乙 12321088 . 就乙1088321288 ,甲 1088乙 1000 法 2 将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从1088 中减掉 32 以后,
13、 1056 就应当是乙数的 111 倍,所以得到乙数10561288,甲数1088881000 【巩固】一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数.【解析】此题为余数问题的基础题型, 需要同学明白一个重要学问点,就是把余数问题 - 即“不整除问题” 转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数.或者是用被除数加上一个 “除数与余数的差” ,也可以得到一个除数的倍数.此题中 310-37=273,说明 273 是所求余数的倍数,而273=37 13 ,所求的两位数约数仍要中意比 37 大,符合条件的有39 , 91.【例 1 】 2003年全国学校数学奥林匹克试题 有两个
14、自然数相除,商是17,余数是 13 ,已知被除数，除数，商与余数之和为2113,就被除数是多少？【解析】被除数除数商 余数被除数除数 +17+13=2113,所以被除数除数 =2083 ,由于被除可编辑资料 - - - 欢迎下载数是除数的 17 倍仍多 13 ,就由“和倍问题”可得：除数= （2083-13）（17+1 ） =115 ,所以被除数 =2083-115=1968可编辑资料 - - - 欢迎下载【巩固】 2002 年全国学校数学奥林匹克试题两数相除,商 4 余 8,被除数，除数，商数，余数四数之和等于 415,就被除数是【解析】由于被除数减去 8 后是除数的 4 倍,所以依据和倍问题可知, 除数为（415488）（41）所以,被除数为 7948324.79 ,可编辑
