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1、河南省商丘市河南第三高级中学2020-2021学年高一数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么akg的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间t）等于（ ）A B C. D参考答案：Ca千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t，两边取对数，即，故选C.2. 若，且，则下列式子正确的个数 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案：B略3. 已知，则三者的大小关系是（ ）ABCD参考答案：C略4. 若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范
2、围为 （ ） A B C D参考答案：D 解析：因为解得5. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）A1BCD2参考答案：B略6. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：A7. （5分）如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）ABCD参考答案：C考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：这是一个古典概型问题，我们可以列出从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，
3、可能组成的所有三角形的个数，然后列出其中是直角三角形的个数，代入古典概型公式即可求出答案解答：从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=，故选：C点评：本题考查古典概型的概率问题，掌握古典概型的计算步骤和计算公式是解答本题的关键8. 不等式2x2x10的解集是（ ）A.() B.（1,+） C.（,1）（2,+） D.()（1,+）参考答案：D9. 已知，则（ ） A B C D参考答案：B10. 已知全
4、集，集合，则（ ）A1 B2，4 C1,2,4,6 D1,2,3,4,5 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在ABC中，BC=，AC=1，且B=，则A= 参考答案：或【考点】HP：正弦定理【分析】利用正弦定理即可得出【解答】解：由正弦定理可得：，可得：sinA=，A（0，），ab，因此A可能为钝角A=或故答案为：或12. 在ABC中，B=600，A=450，则b=_ _. 参考答案：略13. 已知函数是R上的奇函数，且当时，则当时， _参考答案：【分析】根据是奇函数，并且x0时，可设x0，从而得出，从而得出x0时f（x）的解析式【详解】y=f（x）是R上的奇
5、函数,且x0时,，设x0，,则：，故答案为【点睛】考查奇函数的定义，考查了求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法14. 已知两灯塔A、B与观测点C的距离都等于km,灯塔A在观测点C的北偏东，灯塔B在观测点C的南偏东，则灯塔A与B的距离为 km.参考答案：15. 已知函数的零点依次为，则的大小关系是 . 参考答案：略16. 已知数列an的前n项积为Tn，且满足，若，则为_.参考答案：3【分析】由已知条件计算出，得出数列是以4为周期的数列，根据周期性得出。【详解】数列是以4为周期的数列【点睛】本题考查了数列的周期数列的求和，计算出，确定数列是以4为周期的数列是关键。17. 已知函数则满足不等式f(
6、1x2)f(2x)的x的取值范围是_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在ABC中，求证：参考答案：证明： 19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据：34562.5344.5（1）已知产量和能耗呈线性关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？参考公式：参考答案：（1）由对照数据，计算得：，所以回
7、归方程为.（2）当时，（吨标准煤），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低（吨标准煤）.20. （14分）函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分（）求f（x）解析式； （）若f（x）=1，求x的值；（）若f（x）f（2x），求x的取值范围参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值【分析】（I）当1x0时图形为直线，根据两点坐标可求出解析式；当0x3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x1）（x3），带入坐标点可求出抛物线方程；（II）函数f（x）图形与直线y=1的交点横坐标即为所求x的值；（III）结合函数图形，利用函数的单调性来求解x的取值范围；【解
8、答】解：（ I）当1x0时，函数图象为直线且过点（1，0）（0，3），直线斜率为k=3，所以y=3x+3；当0x3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x1）（x3），当x=0时，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x1）（x3）=x24x+3，所以（ II）当x1，0，令3x+3=1，解得；当x（0，3，令x24x+3=1，解得，因为0x3，所以，所以或；（ III）当x=1或x=3时，f（x）=f（2x）=0，当1x0时，22x3，由图象可知f（x）0，f（2x）0，所以f（x）f（2x）恒成立；当0x2时，02x2，f（x）在0，2上单调递减，所以当x2x，即x1时f（x）f（2x
9、），所以0x1；当2x3时，12x0，此时f（x）0，f（2x）0不合题意；所以x的取值范围为1x1【点评】本题主要考查了函数图形，分段函数解析式求法以及函数图形的基本性质，属基础题21. 在数列中，是给定的非零整数，（1）若，求； （2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列参考答案：解析：（1），自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=14分（2）首先证明数列必在有限项后出现零项假设中没有零项，由于，所以.时，都有6分当时，（）；当时，（），即的值要么比至少小1，要么比至少小18分令，则由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项.10分
10、若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.12分22. 已知点A（0，5），圆C：x2+y2+4x12y+24=0（1）若直线l过A（0，5）且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；（2）点M（1，0），N（0，1），点Q是圆C上的任一点，求QMN面积的最小值参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）求出圆心和半径设过该点的直线方程，求圆心到直线的距离与半径和半弦长构成勾股定理，解出斜率k，即得到直线方程，注意讨论斜率不存在的情况；（2）求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值，
11、进而可求ABC的面积最小值【解答】解：（1）圆C：x2+y2+4x12y+24=0，其圆心坐标为（2，6），半径为r=4，点P（0，5），当直线斜率不存在时，直线方程为：x=0，当x=0时，y212y+24=0，解得y=62，可得弦长为6+2（62）=4成立；当直线斜率存在时，设过P的直线方程为：y=kx+5，化为一般方程：kxy+5=0，圆心到直线的距离d=又（2）2+d2=r2=16，解得：k=，所以3x4y+20=0，综上可得直线l：x=0或3x4y+20=0；（2）直线MN的方程为x+y=1，即xy+1=0圆C：x2+y2+4x12y+24=0，其圆心坐标为（2，6），半径为r=4，可得圆心（2，6）到直线MN的距离为d=，圆上的点到直线距离的最小值为4由|MN|=，可得ABC的面积最小值是（4）=2
