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1、1 三角函数的定义证明 .已知锐角 ABC 中, AB=c , AC=b,BC=a ,利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA 解： 作 CD AB 于点 D在 Rt BCD中,由cosB=BD/BC ,得 BD=acosB, 在 RtACD中,由 cosA=AD/AC ,得AD=bcosA ,所以 c=AB=BD+AD=acosB+bcosA逐步提示： 1， 依据待证明的条件中存在三角函数,而题目本身图形为锐角三角形,所以要在原图形中通过添加帮忙线来构造直角三角形.2，依据求【 c 的表达式,既是求AB 的三角函数表达式】 ,因此添加帮忙线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】,
2、可以作 【CD AB 于点 D,】接下来考虑如何在在直角三角形中 利用直角三角形三角函数来求解边角关系.3，接下来分别在 RtACD 和 Rt BCD 中利用三角函数来表示AD 的长度向待证靠近2 点 P 为 ABC 内任意一点,求证点P 到 ABC 距离和为定值点 P 为 ABC 外时 ,上述结论是否成立 , 如成立,请证明.如不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p到 AB,BC,CA三边距离为 h1,h2,h3】证明：连接，,过作上的高,交于.过作，的重线交，于，三角形面积三角形面积三角形面积AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2=ABPD+PE+PF/2故： AB*C
3、G/2=AB*PD+PE+PF/2 CG=PD+PE+PF即：点 P 到 ABC 距离和为三角形的高,是定值.（）如在三角形外,不妨设h1h3,h2h3,就有：h1+h2-h3=三角形边上的高3 棱长为 的正四周体内任意一点到各面距离之和为定值,就这个定值等于多少？ 简证如下：设为 正四周体 -内任一点, 到面,面,面,面的距离分别为1, 2 , 3 , 4 由于四个面面积相等,就 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1/3 ） （ 1 2 3 4）而 3/4a2 , - 2/12a3 ,故 1 2 3 4 3/3a（定值） 4 正弦定理的证明过程步骤 1.在锐角 ABC 中
4、,设 BC=a,AC=b,AB=c.作 CH AB 垂足为点 H CH=asinBCH=bsinAasinB=b sinA得到a/sinA=b/sinB同理,在 ABC 中,b/sinB=c/sinC步骤 2.证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图,任意三角形ABC,作 ABC 的外接圆 O.作直径 BD 交 O 于 D.连接 DA.由于直径所对的 圆周角 是直角 ,所以 DAB=90度由于同弧所对的圆周角相等,所以 D 等于 C.所以 c/sinC c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式.5 余玄定理证明，平面对量证法：如图,有 a+ b = c 平行四边形定就 ：
5、两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）c c = a + b a+ b c2=aa+2 a b + b b c2= a 2+ b 2+2|a| b |Cos - （以上粗体字符表示向量） 又 Cos-=-CosC c2=a2+b2-2|a|b|Cos（留意：这里用到了 三角函数公式 ）再拆开,得 c2=a2+b2-2*a*b*CosC可编辑资料 - - - 欢迎下载同理可证其他,而下面的CosC=c2-b2-a2/2ab就是将 CosC 移到左边表示一下.平面几何 证法： 在任意 ABC 中做 AD BC. C 所对的边为 c, B 所对的边为 b, A 所对的边为 a就有 BD=cosB*c
6、 , AD=sinB*c , DC=BC-BD=a-cosB*c依据 勾股定理 可得：AC2=AD2+DC2b2=sinB*c2+a-cosB*c2b2=sinB² c²+a2+cosB² c2-2ac*cosB b2=sinB2+cosB2*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosBcosB=c2+a2-b2/2ac如图 ,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 , 它,们的终边与单位圆O 的交点分别为 A,B, 就向量 OA=cos,sin 向, 量 OB=cos,sin ,由向量数量积的坐标表示,有向量 OA* 向量
7、 OB=cos,sin *cos ,sin =cos cos +sin sin(1) 假如 - 0,那,公向量 OA 与向量 OB 的夹角就是 -由,向量数量积的定义 ,有向量 OA* 向量 OB= 向量 OA * 向量 OB cos -=cos -于是 cos -=cos cos+sin sin (2) 当 -不 0,设,向量 OA 与向量 OB 的夹角为 ,就 向量 OA* 向量 OB= 向量 OA * 向量 OB cos=cos=cos cos +sin sin可编辑资料 - - - 欢迎下载另一方面 .由图可知 =2k+,kcos- =cosZ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载也有
8、 cos -=cos cos+sin sin 所以 ,对于任意角 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载cos- =cos cos +sin sin两角差的余弦公式cos - =cos cos+sin sin 由两角差的余弦公式cos -=cos cos+sin sin得,两角和的余弦cos +=cos - =cos cos-+sin sin-=cos cos-sin sin得,两角和的余弦公式cos + =cos- scinos sin,两角差的正弦公式推导,就可由余弦公式及诱导公式很快得出;sin- =cos- /2- =可编辑资料 - - - 欢迎下载cos-/2+ =cos- c/2o
9、s-sin-/2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载=sin cos- cos sin两角和的正弦公式推导sin + =si-n- =sin-cos- cos sin- sin cos +cos sin 注：诱导公式证明6 证明三角形的角平分线定理三角形 ABM 面积 S=1/2*AB*AM*sinBAM,三角形 ACM 面积 S=1/2*AC*AM*sinCAM,所以三角形 ABM 面积 S：三角形 ACM 面积 S=AB:AC又三角形 ABM 和三角形 ACM 是等高三角形, 面积的比等于底的比,三角形 ACM 面积 S=BM:CM所以AB AC=MB MC7 射影定理证明直角三角形 射
10、影定理 （又叫欧几里德 Euclid 定理）：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角可编辑资料 - - - 欢迎下载边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式 如图, Rt ABC 中, BAC=90 , AD 是斜边 BC 上的高,就有射影定理如下：（ 1）（ AD） 2=BD DC,（ 2）（ AB） 2=BD BC ,（ 3）（ AC） 2=CD BC .证明：在 BAD 与 ACD 中, B+ C=90 , DAC+ C=90 , B= DAC,又可编辑资料 - - - 欢迎下载 BDA= ADC=90其余类似可证., BAD ACD 相像, AD
11、/BD CD/AD ,即（ AD）2=BD DC.可编辑资料 - - - 欢迎下载注：由上述射影定理仍可以证明勾股定理 .由公式（ 2） + （ 3）得：可编辑资料 - - - 欢迎下载（ AB）2+（ AC） 2=BD BC+CDBC = （BD+CDBC= （ BC） 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载即 （AB） 2+ （AC） 2= （ BC） 2 .8 证明 : 表面积相等的球和正方体 , 球的体积大于正方体的体积球体的表面积s=4r2 .体积 v=4/3 r3 立方体 的表面积 =L2*6; 体积 =L3假设球体和 立方体 的体积相等 4/3 r3=L3= r=3/4的 立方根
12、乘以 L假照实际的 r 大于3 /4 的 立方根乘以 L,球的体积将大于立方体 的体积可编辑资料 - - - 欢迎下载由球和正方体的表面积相等得到：4r2=l2*6= r=3/2的 现在只需要比较 3/4 的立方根和 3/2 的平方根 的大小3/4 的立方根 1平方根 乘以 L可编辑资料 - - - 欢迎下载所以 3/2 的 平方根乘以 L 大于 3/4 的 立方根乘以L,球的体积大于立方体的体积.9 已知. a.b.c都是正实数,且 ab+bc+ca=1 求证： a+b+c 大于等于根号 3ab a2+b2/2bc b2+c2/2 ca c2+a2/2三个相加得 ab+bc+ca=1a2+b2+c2a2+ b2+c21不等式两边同时加上
