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1、河北省承德市丰宁艺术中学2020年高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，则等于 (A) (B) (C) (D) 参考答案：B因为，所以，选B.【解析】略2. 为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )A横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变参考答案：A考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解
2、：把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故选：A点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题3. 如果集合U=1,2,3,4，A=2,4，则（ ）A B 1,2,3,4 C2,4 D1,3参考答案：D4. “sin=”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A解析：由可得，故成立的充分不必要条件，故选A.5. 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱参考答案：A6. 已知集合，若实数满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”。则以下集合
3、中，存在“和谐实数对”的是( )ABCD参考答案：C7. 已知 ,则大小关系为： A B C D参考答案：A略8. 已知向量,且,则（ ）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：由题设可得,即,故,所以,故应选A.考点：向量的平行条件及模的计算.9. 若集合，那么A B C D参考答案：答案：C 10. 已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则 A. B. 445 C. 455 D. 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （07年宁夏、 海南卷文）是虚数单位，（用的形式表示，）参考答案：答案：解析：12. 不等式组表示的平面区域为，直线x=a（a1）将分成
4、面积之比为1：4的两部分，则目标函数z=ax+y的最大值为参考答案：9【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，结合已知求得a，得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，1）联立，解得B（1，1）直线x=a（a1）将分成面积之比为1：4的两部分，解得a=2目标函数z=ax+y=2x+y，化为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9故答案为：913. 对于同一平面的单位向量若与的夹角为则的最大值是 .参考答案：方法一：在半径为的圆中，以
5、圆心为起点构造单位向量，并满足，分别考察向量，和的几何意义，利用平几知识可得最大值为.方法二：，注意到，都是相互独立的单位向量，所以的最小值为，所以最大值为.方法三：，仿方法一可得的最小值为.14. 观察以下不等式； ； ； ； 由此猜测第n个不等式是_.参考答案：观察不等式的规律：； ； ； ； 所以由此猜测第n个不等式为。15. 设n为正整数，计算得，f（4）2，f（16）3，观察上述结果，可推测一般的结论为参考答案：f（2n）（nN*）略16. 如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1，第二层在第一层线段的前端作两条与其成135角的线段，长度为其一半；第三层按第二
6、层的方法在每一条线段的前端生成两条与其成135角的线段，长度为其一半重复前面的作法作图至第n层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第层的树形图的总高度，则到第二层的树形图的总高度h2=_，当n为偶数时，到第n层的树形图的总高度hn =_参考答案： 17. 已知函数定义在上，对任意的， 已知，则 参考答案：1略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数f（x）=alnx（e为自然对数的底数）（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=ex（x23x+3），当a1时，若存在x1（0，+），使得对任意x2（0，+），都有f（x1）g（x2），求a的
7、取值范围参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，求出函数的导数，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可【解答】解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，（）a1时，则exa0，由f（x）0，得x1，由f（x）0，得0x1，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，当1ae时，由f（x）0，得0xlna或x1，由f（x）0，得lnax1，故f（x）在（lna，1）递减，在（0，lna），（1，+）递增，a=e时，f（x）0，f（x）在（0
8、，+）递增，ae时，由f（x）0，得0a1或xlna，由f（x）0，得1xlna，故f（x）在（1，lna）递减，在（0，1），（lna，+）递增，（）x（0，+），a1，故由（）得f（x）在（0，+）上的最小值是f（1）=ea，又g（x）=x（x1）ex，故x（0，1）时，g（x）0，x（1，+）时，g（x）0，故g（x）min=g（1）=e，由题意得：eae，即a0，故0a1即a的范围是0，1【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题19. （本大题10分）倾斜角为的直线过点，直线和曲线:交于不同的两点.（I）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程
9、,并写出直线的参数方程；（II）求的取值范围参考答案：（I）；（为参数）（II）（）略20. 如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东角），其中，在距离O地5a km（a为正数）北偏东角的N处住有一位医学专家，其中现110指挥部紧急征调离O地正东p km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时？参考答案：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，N点的坐标为（3a，4a）又射线OA的方程为y=3x，又B（p，0），
10、直线BN的方程为（4分）当p=3a时，C（3a，9a），当p3a时，方程组，解为点C的坐标为对p=3a也成立（8分）（2）由（1）得令，当且仅当，即，此时，上式取等号，当Km时，S有最小值，即抢救最及时（14分）略21. 已知数列满足，数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求满足不等式的所有正整数的值.参考答案：（1）证明：由得，则。代入中，得，即得。所以数列是等差数列。6分（2）解：因为数列是首项为，公差为等差数列，则，则。8分从而有，故。11分则，由，得。即，得。故满足不等式的所有正整数的值为2，3，4。14分22. 已知函数为偶函数，当时，且曲线在点处的切线方程为（1）求的值；（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值参考答案：（1）时，所以曲线在点处的切线方程为，即又曲线在点处的切线方程为，所以（2）因为为偶函数，且当时，那么，由得，两边取以为底的对数得，所以在上恒成立，设，则（因为）所以，设，易知在上单调递减，所以，故，若实数存在，必有，又，所以满足要求，故所求的最小正整数为2
